質量 $m$ の物体が、角度 $\theta$ の斜面にバネ定数 $k$ のバネでつながれている。斜面下向きを $x$ 軸の正の向きとする。重力加速度は $g$ とする。 (a) $x = 0$ で物体が静止しているときのバネの自然長からの伸び $d$ を求める。 (b) 物体を $x = 0$ から $x = x_0$ の位置に伸ばしたとき、物体にかかる合力の $x$ 方向成分を $x_0$, $k$ を用いて表す。 (c) 時刻 $t = 0$ で $x = x_0$ の位置から物体を離した。時刻 $t$ での物体の位置を $x(t)$ として、物体の $x$ 方向の運動方程式を示す。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、角度 $\theta$ の斜面にバネ定数 $k$ のバネでつながれている。斜面下向きを $x$ 軸の正の向きとする。重力加速度は $g$ とする。

(a) $x = 0$ で物体が静止しているときのバネの自然長からの伸び $d$ を求める。

(b) 物体を $x = 0$ から $x = x_0$ の位置に伸ばしたとき、物体にかかる合力の $x$ 方向成分を $x_0$, $k$ を用いて表す。

(c) 時刻 $t = 0$ で $x = x_0$ の位置から物体を離した。時刻 $t$ での物体の位置を $x(t)$ として、物体の $x$ 方向の運動方程式を示す。

2. 解き方の手順

(a) $x = 0$ で物体が静止しているとき、バネの弾性力と重力の斜面方向成分がつり合っている。バネの伸びを $d$ とすると、弾性力は $kd$ であり、重力の斜面方向成分は $mg\sin\theta$ である。したがって、

$kd = mg\sin\theta$

$d = \frac{mg\sin\theta}{k}$

(b) 物体を $x = x_0$ の位置に伸ばしたとき、バネの伸びは $d - x_0$ ではなく，$d+x_0$である。バネの弾性力は $k(d+x_0)$ となる。合力の $x$ 方向成分 $F$ は、重力の斜面方向成分から弾性力を引いたものなので、

$F = mg\sin\theta - k(d+x_0)$

ここで、$kd = mg\sin\theta$ であるから、

$F = mg\sin\theta - k(\frac{mg\sin\theta}{k} + x_0)$

$F = mg\sin\theta - mg\sin\theta - kx_0$

$F = -kx_0$

(c) 時刻 $t$ での物体の位置を $x(t)$ とする。物体の加速度を $\frac{d^2x}{dt^2}$ とすると、運動方程式は

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg\sin\theta - k(d+x)$

$m\frac{d^2x}{dt^2} = mg\sin\theta - kd - kx$

$kd = mg\sin\theta$ より、

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}x$

3. 最終的な答え

(a) $d = \frac{mg\sin\theta}{k}$

(b) $-kx_0$

(c) $m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$