斜面上に置かれた物体がバネに繋がれており、その運動について考察する問題です。特に、(d)では、運動方程式の一般解が与えられた際に、初期条件から振幅 $A$ を求めることが要求されています。

1. 問題の内容

斜面上に置かれた物体がバネに繋がれており、その運動について考察する問題です。特に、(d)では、運動方程式の一般解が与えられた際に、初期条件から振幅 $A$ を求めることが要求されています。

2. 解き方の手順

(d)の問題を解きます。

与えられた一般解は $x(t) = A\sin(\omega t + \phi)$ です。

まず、初期条件 $t=0$ における $x(0) = x_0$ を代入すると、

$x_0 = A\sin(\phi)$ (1)

次に、速度 $\frac{dx}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \phi)$

初期条件 $t=0$ における $\frac{dx}{dt}(0) = x_0\omega$ を代入すると、

$x_0\omega = A\omega\cos(\phi)$

$x_0 = A\cos(\phi)$ (2)

(1)と(2)の式より、$A$と$\phi$を求めます。

(1)と(2)の式をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$x_0^2 = A^2\sin^2(\phi)$

$x_0^2 = A^2\cos^2(\phi)$

$2x_0^2 = A^2(\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi))$

$2x_0^2 = A^2$

$A = \sqrt{2}x_0$

3. 最終的な答え

振幅 $A$ は $\sqrt{2}x_0$ です。