座標平面上の点 $P(x, y)$ が次の不等式で表される領域を動くとき、 $4x + y \le 9$ $x + 2y \ge 4$ $2x - 3y \ge -6$ (1) $2x + y$ と (2) $x^2 + y^2$ の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の点 $P(x, y)$ が次の不等式で表される領域を動くとき、

$4x + y \le 9$

$x + 2y \ge 4$

$2x - 3y \ge -6$

(1) $2x + y$ と (2) $x^2 + y^2$ の最大値と最小値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式で表される領域を求める。

$4x + y \le 9$ --- (1)

$x + 2y \ge 4$ --- (2)

$2x - 3y \ge -6$ --- (3)

これらの不等式をそれぞれ $y$ について解くと、

$y \le -4x + 9$ --- (1)'

$y \ge -\frac{1}{2}x + 2$ --- (2)'

$y \le \frac{2}{3}x + 2$ --- (3)'

これらの不等式をグラフに描き、領域を求める。領域は3つの直線で囲まれた三角形となる。次に、それぞれの頂点の座標を求める。

(1)と(2)の交点：

$-4x + 9 = -\frac{1}{2}x + 2$

$-\frac{7}{2}x = -7$

$x = 2$

$y = -4(2) + 9 = 1$

よって、交点は $(2, 1)$

(1)と(3)の交点：

$-4x + 9 = \frac{2}{3}x + 2$

$-\frac{14}{3}x = -7$

$x = \frac{3}{2}$

$y = -4(\frac{3}{2}) + 9 = 3$

よって、交点は $(\frac{3}{2}, 3)$

(2)と(3)の交点：

$-\frac{1}{2}x + 2 = \frac{2}{3}x + 2$

$-\frac{7}{6}x = 0$

$x = 0$

$y = -\frac{1}{2}(0) + 2 = 2$

よって、交点は $(0, 2)$

領域の頂点は $(2, 1)$, $(\frac{3}{2}, 3)$, $(0, 2)$ である。

(1) $k = 2x + y$ とおく。$y = -2x + k$ より、これは傾きが $-2$、切片が $k$ の直線を表す。この直線が領域と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求める。

頂点で $k$ の値を確認する。

$(2, 1)$ のとき、$k = 2(2) + 1 = 5$

$(\frac{3}{2}, 3)$ のとき、$k = 2(\frac{3}{2}) + 3 = 6$

$(0, 2)$ のとき、$k = 2(0) + 2 = 2$

よって、最大値は 6、最小値は 2。

(2) $l = x^2 + y^2$ とおく。これは原点を中心とする半径 $\sqrt{l}$ の円を表す。この円が領域と共有点を持つような $l$ の最大値と最小値を求める。

頂点で $l$ の値を確認する。

$(2, 1)$ のとき、$l = 2^2 + 1^2 = 5$

$(\frac{3}{2}, 3)$ のとき、$l = (\frac{3}{2})^2 + 3^2 = \frac{9}{4} + 9 = \frac{45}{4} = 11.25$

$(0, 2)$ のとき、$l = 0^2 + 2^2 = 4$

領域の境界上の点で、$x^2+y^2$ の値が大きくなる可能性を考慮する。(1)と(3)の交点が最大となる可能性が高い。

よって、最大値は $\frac{45}{4}$、最小値は 4。

3. 最終的な答え

(1) $2x + y$ の最大値は 6、最小値は 2。

(2) $x^2 + y^2$ の最大値は $\frac{45}{4}$、最小値は 4。