長さ $l$ の弦が張力 $S$ で張られている。弦の一端から $x$ の位置に質量 $m$ のおもりをつけて、水平面内で糸に垂直な方向に微小振動させたときの周期を $x$ の関数として求める。ただし、$\theta_1, \theta_2$ は小さいので、$\theta_1 \approx \frac{y}{x}$, $\theta_2 \approx \frac{y}{l-x}$ であり、微小振動の場合は $S$ を一定としてよい。

1. 問題の内容

長さ $l$ の弦が張力 $S$ で張られている。弦の一端から $x$ の位置に質量 $m$ のおもりをつけて、水平面内で糸に垂直な方向に微小振動させたときの周期を $x$ の関数として求める。ただし、$\theta_1, \theta_2$ は小さいので、$\theta_1 \approx \frac{y}{x}$, $\theta_2 \approx \frac{y}{l-x}$ であり、微小振動の場合は $S$ を一定としてよい。

2. 解き方の手順

おもりに働く力のつり合いを考える。おもりには、弦の張力 $S$ が2つ働いている。これらの張力の鉛直方向成分の和が、おもりの運動方程式に寄与する。水平方向は相殺される。

張力 $S$ の鉛直方向成分は、それぞれ $S\sin\theta_1$ と $S\sin\theta_2$ である。

$\theta_1, \theta_2$ が小さいので、$\sin\theta_1 \approx \theta_1 = \frac{y}{x}$、$\sin\theta_2 \approx \theta_2 = \frac{y}{l-x}$ と近似できる。したがって、おもりに働く鉛直方向の力の合計 $F$ は、

$F = -S\sin\theta_1 - S\sin\theta_2 \approx -S\frac{y}{x} - S\frac{y}{l-x} = -Sy\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{l-x}\right) = -Sy\left(\frac{l-x+x}{x(l-x)}\right) = -Sy\frac{l}{x(l-x)}$

おもりの運動方程式は、

$m\frac{d^2y}{dt^2} = F = -Sy\frac{l}{x(l-x)}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{Sl}{mx(l-x)}y$

これは単振動の微分方程式であり、角振動数 $\omega$ は、

$\omega^2 = \frac{Sl}{mx(l-x)}$

$\omega = \sqrt{\frac{Sl}{mx(l-x)}}$

周期 $T$ は、

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{mx(l-x)}{Sl}}$

3. 最終的な答え

$T = 2\pi\sqrt{\frac{mx(l-x)}{Sl}}$