質量 $m$ の物体が高さ $h$ の摩擦のない斜面を滑り、動摩擦係数 $\mu$ の水平面に入り、長さ $l$ 滑ったところで壁に衝突して静止した。壁から物体に働いた力積として正しいものを選択する問題です。重力加速度は $g$ であり、$h > \mu l$ の条件が与えられています。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が高さ $h$ の摩擦のない斜面を滑り、動摩擦係数 $\mu$ の水平面に入り、長さ $l$ 滑ったところで壁に衝突して静止した。壁から物体に働いた力積として正しいものを選択する問題です。重力加速度は $g$ であり、$h > \mu l$ の条件が与えられています。

2. 解き方の手順

力積は運動量の変化に等しいので、壁に衝突する直前の物体の運動量を求めればよい。

(1) 斜面を滑り降りる際、摩擦がないので力学的エネルギーが保存される。高さ $h$ の位置エネルギーが運動エネルギーに変換されるので、斜面の一番下での速さ $v_1$ は、

$mgh = \frac{1}{2}mv_1^2$

より、

$v_1 = \sqrt{2gh}$

(2) 水平面上では、動摩擦力が働くので、運動方程式は、

$ma = -\mu mg$

となり、加速度 $a$ は

$a = -\mu g$

(3) 水平面上を距離 $l$ だけ滑って静止するので、等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = 2ax$ より、壁に衝突する直前の速度を $v_2$ とすると、

$0 - v_1^2 = 2(-\mu g)l$

ではない。なぜなら、$v_2$ は壁に衝突する速度なので、静止する速度とは違う。

$v_2^2 - v_1^2 = 2(-\mu g)l$

$v_2^2 = v_1^2 - 2\mu gl = 2gh - 2\mu gl = 2g(h - \mu l)$

$v_2 = \sqrt{2g(h - \mu l)}$

(4) 壁からの力積 $I$ は、運動量の変化に等しいので、

$I = mv_2 - 0 = m\sqrt{2g(h - \mu l)}$

となります。

3. 最終的な答え

与えられた選択肢の中に、$m\sqrt{2g(h - \mu l)}$ と一致するものはないため、問題文または選択肢に誤りがあると考えられます。ただし、最も近い選択肢は C の $m\sqrt{2g(h-\mu l)}$ です。

したがって答えは C: $m\sqrt{2g(h - \mu l)}$ となります。