ベクトル場 $\vec{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられています。 1. 平面 $z=0$ 上における $\vec{A}$ の様子を図示すること。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\vec{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられています。

1. 平面 $z=0$ 上における $\vec{A}$ の様子を図示すること。

2. $\vec{A}$ に対して、原点を中心とする半径 $a$ の円周（xy平面上、時計回り）に沿った経路 $C$ を考えるとき、線積分 $\int_C \vec{A} \cdot d\vec{s}$ を計算すること。

2. 解き方の手順

1. 平面 $z=0$ 上では、ベクトル場 $\vec{A}$ は $\vec{A} = (y, -x, 0)$ となります。このベクトル場を図示するには、いくつかの点におけるベクトルを計算し、それらを矢印で描けばよいです。例えば、(1,0,0) では $\vec{A}=(0, -1, 0)$、(0,1,0) では $\vec{A}=(1, 0, 0)$ となります。このベクトル場は、原点を中心とする回転を表しています。

2. 線積分 $\int_C \vec{A} \cdot d\vec{s}$ を計算します。経路 $C$ は、原点を中心とする半径 $a$ の円周であり、xy平面上で時計回りに回ります。この経路をパラメータ表示すると、

$x = a \cos t$

$y = -a \sin t$

$z = 0$

となります。ここで、 $t$ は $0$ から $2\pi$ まで変化します。

したがって、$d\vec{s} = (dx, dy, dz) = (-a \sin t dt, -a \cos t dt, 0)$ となります。

$\vec{A} = (y+z, -x-z, z) = (-a \sin t, -a \cos t, 0)$ です。

よって、 $\vec{A} \cdot d\vec{s} = (-a \sin t)(-a \sin t dt) + (-a \cos t)(-a \cos t dt) + 0 = a^2 (\sin^2 t + \cos^2 t) dt = a^2 dt$ となります。

したがって、線積分は

$I = \int_C \vec{A} \cdot d\vec{s} = \int_0^{2\pi} a^2 dt = a^2 \int_0^{2\pi} dt = a^2 [t]_0^{2\pi} = 2\pi a^2$ となります。

3. 最終的な答え

平面 $z=0$ 上における $\vec{A}$ の図示は省略します（ベクトル場をいくつかの点にプロットすれば良い）。

線積分の答えは $2\pi a^2$ です。