ベクトル場 $\vec{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられています。平面 $z=0$ 上におけるベクトル場 $\vec{A}$ の様子を図示することが求められています。

1. 問題の内容

ベクトル場 $\vec{A} = (y+z, -x-z, z)$ が与えられています。平面 $z=0$ 上におけるベクトル場 $\vec{A}$ の様子を図示することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、平面 $z=0$ 上でのベクトル場 $\vec{A}$ の式を求めます。$z=0$ を $\vec{A}$ に代入すると、

$\vec{A} = (y+0, -x-0, 0) = (y, -x, 0)$

となります。平面 $z=0$ 上では、ベクトル場 $\vec{A}$ の $x$ 成分は $y$ であり、$y$ 成分は $-x$ であり、$z$ 成分は $0$ です。

次に、$xy$ 平面上にいくつかの点を選び、それらの点におけるベクトル $\vec{A}$ を計算し、矢印として図示します。

例えば、

- 点 (1, 0) では、$\vec{A} = (0, -1, 0)$

- 点 (0, 1) では、$\vec{A} = (1, 0, 0)$

- 点 (1, 1) では、$\vec{A} = (1, -1, 0)$

- 点 (-1, 0) では、$\vec{A} = (0, 1, 0)$

- 点 (0, -1) では、$\vec{A} = (-1, 0, 0)$

- 点 (-1, -1) では、$\vec{A} = (-1, 1, 0)$

などです。これらのベクトルをxy平面上の対応する点から描きます。

ベクトル場 $\vec{A} = (y, -x, 0)$ は、原点を中心とする回転運動を示しています。

3. 最終的な答え

平面 $z=0$ 上のベクトル場 $\vec{A}$ の様子を図示せよ。

（図は、xy平面上に原点を中心とする回転方向のベクトル場を描いたものとなります。各点(x,y)においてベクトル(y,-x)を描画します。）

文章での回答としては、ベクトル場 $\vec{A}$ は、平面 $z=0$ 上で原点を中心に時計回りに回転するベクトル場となる。