質量1kgの物体を20mの高さから初速度0で自由落下させた。地面に衝突して跳ね返り、5mの高さまで上昇した。重力加速度を10m/s²として、以下の問いに答える。 i) 地面に衝突する直前の速さを求める。 ii) 地面で跳ね返った直後の速さを求める。 iii) 地面から物体に働いた力積の大きさを求める。

1. 問題の内容

質量1kgの物体を20mの高さから初速度0で自由落下させた。地面に衝突して跳ね返り、5mの高さまで上昇した。重力加速度を10m/s²として、以下の問いに答える。

i) 地面に衝突する直前の速さを求める。

ii) 地面で跳ね返った直後の速さを求める。

iii) 地面から物体に働いた力積の大きさを求める。

2. 解き方の手順

i) 地面に衝突する直前の速さを求める。

自由落下運動の公式を利用する。

$v^2 - v_0^2 = 2gh$

初速度 $v_0 = 0$、重力加速度 $g = 10 \, \text{m/s}^2$、落下距離 $h = 20 \, \text{m}$ であるから、

$v^2 = 2 \times 10 \times 20 = 400$

$v = \sqrt{400} = 20 \, \text{m/s}$

ii) 地面で跳ね返った直後の速さを求める。

跳ね返った後の上昇運動を考える。最高点での速度は0である。

$v^2 - v_0^2 = 2gh$

最高点での速度 $v = 0$、重力加速度 $g = -10 \, \text{m/s}^2$（上向きを正とする）、上昇距離 $h = 5 \, \text{m}$ であるから、

$0^2 - v_0^2 = 2 \times (-10) \times 5$

$-v_0^2 = -100$

$v_0^2 = 100$

$v_0 = \sqrt{100} = 10 \, \text{m/s}$

iii) 地面から物体に働いた力積の大きさを求める。

力積は運動量の変化に等しい。

$J = mv_f - mv_i$

ここで、$m = 1 \, \text{kg}$、$v_i$ は衝突直前の速度（下向きを正とすると、$v_i = 20 \, \text{m/s}$）、$v_f$ は跳ね返り直後の速度（上向きを正とすると、$v_f = 10 \, \text{m/s}$）。下向きを正とすると $v_f = -10 \, \text{m/s}$

$J = 1 \times (-10) - 1 \times (20) = -10 - 20 = -30 \, \text{kg m/s}$

力積の大きさなので、絶対値を取る。

$|J| = 30 \, \text{kg m/s}$

3. 最終的な答え

i) 20

ii) 10

iii) 30