質量 $2 \, \text{kg}$ の質点が、x軸方向に $8 \, \text{m/s}$ の速度で運動している。この質点に、y軸方向に $12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$ の力積が加わった。力積が加わった後の速度の絶対値と、速度がx軸となす角 $\theta$ について $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $2 \, \text{kg}$ の質点が、x軸方向に $8 \, \text{m/s}$ の速度で運動している。この質点に、y軸方向に $12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$ の力積が加わった。力積が加わった後の速度の絶対値と、速度がx軸となす角 $\theta$ について $\tan \theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、力積によって変化する速度を求める。力積は運動量の変化に等しいので、

$\Delta p = m \Delta v$

ここで、$m$は質量、$\Delta v$ は速度の変化量、$\Delta p$は力積である。

この問題では、力積はy軸方向のみに加わっているため、y軸方向の速度のみが変化する。

したがって、y軸方向の速度変化量$\Delta v_y$ は

$\Delta v_y = \frac{\Delta p_y}{m} = \frac{12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{2 \, \text{kg}} = 6 \, \text{m/s}$

力積が加わる前はy軸方向の速度は0だったので、力積が加わった後のy軸方向の速度 $v_y$ は $6 \, \text{m/s}$ である。

x軸方向の速度 $v_x$ は力積によって変化しないので、$v_x = 8 \, \text{m/s}$ である。

速度の絶対値（速さ）$v$ は、三平方の定理より

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(8 \, \text{m/s})^2 + (6 \, \text{m/s})^2} = \sqrt{64 + 36} \, \text{m/s} = \sqrt{100} \, \text{m/s} = 10 \, \text{m/s}$

速度がx軸となす角 $\theta$ について、$\tan \theta$ は

$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{6 \, \text{m/s}}{8 \, \text{m/s}} = \frac{3}{4} = 0.75$

3. 最終的な答え

速度の絶対値：$10 \, \text{m/s}$

$\tan \theta$：$0.75$