$xy$ 平面上の2次元ベクトル場 $\vec{F} = -y\vec{i} + 2x\vec{j}$ について、以下の問いに答えます。 * ベクトル場 $\vec{F}$ の回転を計算する。 * ベクトル場 $-\vec{F}$ の回転を計算する。 * $\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係を $x, y, z$ 座標を用いて図示し説明する。 (ベクトル場の図示は省略します)

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の2次元ベクトル場 $\vec{F} = -y\vec{i} + 2x\vec{j}$ について、以下の問いに答えます。

* ベクトル場 $\vec{F}$ の回転を計算する。

* ベクトル場 $-\vec{F}$ の回転を計算する。

* $\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係を $x, y, z$ 座標を用いて図示し説明する。

(ベクトル場の図示は省略します)

2. 解き方の手順

まず、2次元ベクトル場 $\vec{F} = P(x, y)\vec{i} + Q(x, y)\vec{j}$ の回転は以下のように定義されます。

$\text{rot} \vec{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$

(a) ベクトル場 $\vec{F} = -y\vec{i} + 2x\vec{j}$ の回転を計算します。

$P(x, y) = -y$ , $Q(x, y) = 2x$ なので、

$\frac{\partial P}{\partial y} = -1$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2$

したがって、

$\text{rot} \vec{F} = 2 - (-1) = 3$

(b) ベクトル場 $-\vec{F} = y\vec{i} - 2x\vec{j}$ の回転を計算します。

$P(x, y) = y$ , $Q(x, y) = -2x$ なので、

$\frac{\partial P}{\partial y} = 1$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = -2$

したがって、

$\text{rot} (-\vec{F}) = -2 - (1) = -3$

(c) $\text{rot} \vec{F}$ と $\text{rot} (-\vec{F})$ の関係を説明します。

$\text{rot} \vec{F} = 3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = -3$

したがって、

$\text{rot} (-\vec{F}) = - \text{rot} \vec{F}$

これは、ベクトル場に-1をかけた場合、回転の向きが反転することを意味します。

$\vec{F}$ が $xy$ 平面上のベクトル場なので、回転は $z$ 軸方向の成分のみを持ちます。

$\text{rot} \vec{F} = 3 \vec{k}$

$\text{rot} (-\vec{F}) = -3 \vec{k}$

3. 最終的な答え

$\text{rot} \vec{F} = 3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = -3$

$\text{rot} (-\vec{F}) = - \text{rot} \vec{F}$