ばね定数 $k$ のばねにつながれた質量 $m$ の質点が滑らかな水平面上を運動する。質点にはばねの復元力に加えて、速度に比例する抵抗 $F_v = -\gamma v$ が働く。ここで、$\gamma$ は正の定数、$v(t)$ は質点の速度、$x(t)$ は質点の位置とする。 (a) 質点の運動方程式を求める。 (b) $x(t) = e^{\lambda t}$ が運動方程式の解であるときの $\lambda$ を求める。 (c) $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $\kappa = \gamma/(2m)$ とするとき、$\omega_0 > \kappa$ と $\omega_0 < \kappa$ における一般解 $x(t)$ をそれぞれ求める。 (d) $\omega_0 > \kappa$ と $\omega_0 < \kappa$ における $v(t)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

ばね定数 $k$ のばねにつながれた質量 $m$ の質点が滑らかな水平面上を運動する。質点にはばねの復元力に加えて、速度に比例する抵抗 $F_v = -\gamma v$ が働く。ここで、$\gamma$ は正の定数、$v(t)$ は質点の速度、$x(t)$ は質点の位置とする。

(a) 質点の運動方程式を求める。

(b) $x(t) = e^{\lambda t}$ が運動方程式の解であるときの $\lambda$ を求める。

(c) $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $\kappa = \gamma/(2m)$ とするとき、$\omega_0 > \kappa$ と $\omega_0 < \kappa$ における一般解 $x(t)$ をそれぞれ求める。

(d) $\omega_0 > \kappa$ と $\omega_0 < \kappa$ における $v(t)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式

ニュートンの運動方程式 $F = ma$ を用いる。質点に働く力は、ばねの復元力 $-kx$ と速度に比例する抵抗力 $-\gamma v = -\gamma \dot{x}$ である。したがって、運動方程式は

$m\ddot{x} = -kx - \gamma\dot{x}$

整理すると、

$m\ddot{x} + \gamma\dot{x} + kx = 0$

(b) $\lambda$ の計算

$x(t) = e^{\lambda t}$ を運動方程式に代入する。$\dot{x}(t) = \lambda e^{\lambda t}$、$\ddot{x}(t) = \lambda^2 e^{\lambda t}$ なので、

$m\lambda^2 e^{\lambda t} + \gamma \lambda e^{\lambda t} + k e^{\lambda t} = 0$

$e^{\lambda t}$ は常に0ではないので、

$m\lambda^2 + \gamma \lambda + k = 0$

この二次方程式を $\lambda$ について解くと、

$\lambda = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4mk}}{2m}$

$\lambda = -\frac{\gamma}{2m} \pm \sqrt{\frac{\gamma^2}{4m^2} - \frac{k}{m}}$

$\lambda = -\kappa \pm \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$

(c) 一般解 $x(t)$ の計算

$\omega_0 > \kappa$ のとき、$\kappa^2 - \omega_0^2 < 0$ なので、$\lambda$ は複素数になる。$\lambda = -\kappa \pm i\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}$ である。一般解は

$x(t) = e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2 \sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t))$

$\omega_0 < \kappa$ のとき、$\kappa^2 - \omega_0^2 > 0$ なので、$\lambda$ は実数になる。$\lambda_1 = -\kappa + \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$ と $\lambda_2 = -\kappa - \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$ とする。一般解は

$x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$

(d) $v(t)$ の計算

$\omega_0 > \kappa$ のとき、

$v(t) = \dot{x}(t) = -\kappa e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2 \sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t)) + e^{-\kappa t} (-C_1\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}\sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}t))$

$\omega_0 < \kappa$ のとき、

$v(t) = \dot{x}(t) = C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \lambda_2 e^{\lambda_2 t}$

3. 最終的な答え

(a) 運動方程式: $m\ddot{x} + \gamma\dot{x} + kx = 0$

(b) $\lambda = -\kappa \pm \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$

(c) $\omega_0 > \kappa$ のとき: $x(t) = e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2 \sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t))$

$\omega_0 < \kappa$ のとき: $x(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t}$, ただし $\lambda_1 = -\kappa + \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$、$\lambda_2 = -\kappa - \sqrt{\kappa^2 - \omega_0^2}$

(d) $\omega_0 > \kappa$ のとき: $v(t) = -\kappa e^{-\kappa t} (C_1 \cos(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2 \sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t)) + e^{-\kappa t} (-C_1\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}\sin(\sqrt{\omega_0^2 - \kappa^2}t) + C_2\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\kappa^2}t))$

$\omega_0 < \kappa$ のとき: $v(t) = C_1 \lambda_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 \lambda_2 e^{\lambda_2 t}$