斜面上を滑る物体の運動に関する問題です。以下の項目について解答します。 i) 斜面を半分滑り落ちた時点での物体の速度 $v$ の大きさ ii) i) の時点での物体の全力学的エネルギー iii) 斜面を最上部から最下部まで滑り落ちる間に摩擦力のした仕事の大きさ iv) 斜面を下まで滑り落ちる間に力 $F$ のした仕事の大きさ v) 斜面を下まで滑り落ちる間に重力のした仕事の大きさ vi) このような運動が生じる時の $F$ の値

1. 問題の内容

斜面上を滑る物体の運動に関する問題です。以下の項目について解答します。

i) 斜面を半分滑り落ちた時点での物体の速度 $v$ の大きさ

ii) i) の時点での物体の全力学的エネルギー

iii) 斜面を最上部から最下部まで滑り落ちる間に摩擦力のした仕事の大きさ

iv) 斜面を下まで滑り落ちる間に力 $F$ のした仕事の大きさ

v) 斜面を下まで滑り落ちる間に重力のした仕事の大きさ

vi) このような運動が生じる時の $F$ の値

2. 解き方の手順

i) エネルギー保存則を応用します。斜面の角度を $\theta$ 、斜面の高さを $h$ 、動摩擦係数を $\mu$ とします。

斜面を半分滑り落ちた距離は $h/(2\sin\theta)$ です。

位置エネルギーの減少は $mgh/2$ です。

摩擦力がする仕事は $- \mu m g \cos\theta \cdot h/(2\sin\theta)$ です。

エネルギー保存則より、

$mgh/2 - \mu m g \cos\theta \cdot h/(2\sin\theta) = (1/2)mv^2$

$v^2 = gh - \mu g h \cos\theta / \sin\theta$

$v = \sqrt{gh(1-\mu \cos\theta/\sin\theta)}$

ii) 全力学的エネルギーは、位置エネルギーと運動エネルギーの和です。

位置エネルギーは $mgh/2$ です。

運動エネルギーは $(1/2)mv^2 = (1/2)mgh(1-\mu \cos\theta/\sin\theta)$ です。

したがって、

$E = mgh/2 + (1/2)mgh(1-\mu \cos\theta/\sin\theta) = mgh(1-\mu \cos\theta/(2\sin\theta))$

iii) 摩擦力がする仕事は、摩擦力と移動距離の積です。

摩擦力は $\mu m g \cos\theta$ です。

移動距離は $h/\sin\theta$ です。

したがって、摩擦力がする仕事は $- \mu m g \cos\theta \cdot h/\sin\theta = - mgh \mu \cos\theta/\sin\theta$

iv) 力 $F$ がする仕事は、力 $F$ と移動距離の積です。

力 $F$ の向きは斜面に沿って上向きであるから、移動距離 $h/\sin\theta$ に対して仕事は負になります。

問題文に具体的なFの大きさの記述がないので、Fh/sinθではないかと考えられます。

v) 重力がする仕事は、重力と鉛直方向の移動距離の積です。

重力は $mg$ です。

鉛直方向の移動距離は $h$ です。

したがって、重力がする仕事は $mgh$ です。

vi) 物体が等速で滑り降りるためには、重力の斜面方向成分と摩擦力と力 $F$ が釣り合う必要があります。

重力の斜面方向成分は $mg\sin\theta$ です。

摩擦力は $\mu mg\cos\theta$ です。

$F + \mu mg \cos\theta = mg\sin\theta$

$F = mg(\sin\theta - \mu \cos\theta)$

3. 最終的な答え

i) B: $\sqrt{gh(1-\mu \cos\theta/\sin\theta)}$

ii) A: $mgh(1-\mu \cos\theta/(2\sin\theta))$

iii) D: $mgh \mu \cos\theta/\sin\theta$

iv) D: $Fh/\sin\theta$

v) C: $mgh$

vi) C: $mg(\sin\theta - \mu \cos\theta)$

(iv)についてですが、問題文に誤りがあるか、またはFの向きが画像から読み取れない可能性があります。