質量 $m$ の物体が、動摩擦係数 $\mu$ の斜面を滑り落ちる。斜面の高さは $h$、傾斜角は $\theta$ である。斜面の半分の高さまで滑り落ちた時点から、斜面に沿って上向きに一定の力 $F$ を加え始めたところ、斜面の下まで行ったところで停止した。以下の小問に答えよ。 i) 斜面を半分滑り落ちた時点での物体の速度 $v$ の大きさを求める。 ii) i) の時点での物体の全力学的エネルギーを求める（位置エネルギーの基準は斜面の一番下とする）。 iii) 斜面を最上部から最下部まで滑り落ちる間に摩擦力のした仕事の大きさを求める。 iv) 斜面を下まで滑り落ちる間に力 $F$ のした仕事の大きさを求める。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体が、動摩擦係数 $\mu$ の斜面を滑り落ちる。斜面の高さは $h$、傾斜角は $\theta$ である。斜面の半分の高さまで滑り落ちた時点から、斜面に沿って上向きに一定の力 $F$ を加え始めたところ、斜面の下まで行ったところで停止した。以下の小問に答えよ。

i) 斜面を半分滑り落ちた時点での物体の速度 $v$ の大きさを求める。

ii) i) の時点での物体の全力学的エネルギーを求める（位置エネルギーの基準は斜面の一番下とする）。

iii) 斜面を最上部から最下部まで滑り落ちる間に摩擦力のした仕事の大きさを求める。

iv) 斜面を下まで滑り落ちる間に力 $F$ のした仕事の大きさを求める。

2. 解き方の手順

i) エネルギー保存則を適用する。斜面の半分を滑り落ちる間の高さは $h/2$ である。重力による位置エネルギーの減少は $mg(h/2)$。摩擦力の大きさは $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$。滑り落ちる距離は $h/(2\sin\theta)$。摩擦力がする仕事は $-f \cdot h/(2\sin\theta) = -\mu mg \cos \theta \cdot h/(2\sin \theta) = -\mu mgh \frac{\cos \theta}{2 \sin \theta}$。運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2$。

エネルギー保存則より、

$mg\frac{h}{2} - \mu mgh \frac{\cos \theta}{2 \sin \theta} = \frac{1}{2}mv^2$

$gh - \mu gh \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = v^2$

$v = \sqrt{gh(1 - \mu \frac{\cos \theta}{\sin \theta})}$

したがって、解答は B。

ii) i) の時点での物体の全力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーの和である。位置エネルギーは $mg(h/2)$。運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mgh(1 - \mu \frac{\cos \theta}{\sin \theta})$。したがって、全エネルギーは $mg\frac{h}{2} + \frac{1}{2}mgh(1 - \mu \frac{\cos \theta}{\sin \theta}) = mgh - \frac{1}{2} \mu mgh \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = mgh(1 - \frac{\mu \cos \theta}{2 \sin \theta})$

したがって、解答は A。

iii) 斜面を最上部から最下部まで滑り落ちる間に摩擦力のした仕事は、摩擦力 $\mu mg\cos \theta$ に移動距離 $h/\sin\theta$ をかけたものにマイナスをつけたものである。

$W = -\mu mg\cos \theta \cdot \frac{h}{\sin \theta} = -mgh \frac{\mu \cos \theta}{\sin \theta}$

仕事の大きさなので、絶対値をとって、$mgh \frac{\mu \cos \theta}{\sin \theta}$. したがって、解答はD。

iv) 力 $F$ がした仕事は、$F \cdot \frac{h}{2\sin\theta}$ である。問題文より、物体は斜面の下まで行ったところで停止した。したがって、力 $F$ の作用する距離は斜面の半分の長さである。

したがって、解答は $Fh/(2\sin\theta)$.選択肢にないため、問題文の写し間違いの可能性がある。Dの$Fh/\sin\theta$が正しければD

3. 最終的な答え

i) B

ii) A

iii) D

iv) D