与えられた式 $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}$, $h = l+r$, $I = m(l+r)^2 + \frac{2}{5}mr^2$ から、$g = \frac{4\pi^2}{T^2}(l+r+\frac{2}{5}\frac{r^2}{l+r})$ を導出する。

1. 問題の内容

与えられた式 $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}$, $h = l+r$, $I = m(l+r)^2 + \frac{2}{5}mr^2$ から、$g = \frac{4\pi^2}{T^2}(l+r+\frac{2}{5}\frac{r^2}{l+r})$ を導出する。

2. 解き方の手順

まず、$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mgh}}$ を変形して $T^2$ について解く。

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{I}{Mgh} = 4\pi^2 \frac{I}{Mgh}$

次に、与えられた $I$ と $h$ の式を代入する。$M = m$であるので$M$を$m$に置き換える

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m(l+r)^2 + \frac{2}{5}mr^2}{mg(l+r)} = 4\pi^2 \frac{(l+r)^2 + \frac{2}{5}r^2}{g(l+r)}$

この式を $g$ について解く。

$g = 4\pi^2 \frac{(l+r)^2 + \frac{2}{5}r^2}{T^2(l+r)} = \frac{4\pi^2}{T^2} \frac{(l+r)^2 + \frac{2}{5}r^2}{l+r} = \frac{4\pi^2}{T^2} \left( \frac{(l+r)^2}{l+r} + \frac{\frac{2}{5}r^2}{l+r} \right)$

$g = \frac{4\pi^2}{T^2} \left( l+r + \frac{2}{5}\frac{r^2}{l+r} \right)$

3. 最終的な答え

$g = \frac{4\pi^2}{T^2} (l+r+\frac{2}{5}\frac{r^2}{l+r})$