与えられた経済学の問題は、ラスパイレス価格指数（$P_L$）とパーシェ価格指数（$P_P$）の関係について考察し、文章中の空欄を埋める問題です。空欄は全部で5つあります。

1. 問題の内容

与えられた経済学の問題は、ラスパイレス価格指数（$P_L$）とパーシェ価格指数（$P_P$）の関係について考察し、文章中の空欄を埋める問題です。空欄は全部で5つあります。

2. 解き方の手順

まず、共分散 $s_{PQ}$ の式を見て、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L) (\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L)$

この式を展開すると、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} Q_L - \sum_{i=1}^n w_{i0} P_L \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} + \sum_{i=1}^n w_{i0} P_L Q_L$

ここで、

$\sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} = P_L$

$\sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} = Q_L$

$\sum_{i=1}^n w_{i0} = 1$

であるから、

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L - P_L Q_L + P_L Q_L$

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L$

問題文より、

$P_P = \frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}}}$

$\sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} = \frac{\sum_{i=1}^n P_{it} Q_{it}}{\sum_{i=1}^n P_{i0} Q_{i0}}$

したがって、$s_{PQ} = \sum_{i=1}^n w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - P_L Q_L$

なので、空欄1は $Q_L$ になる。

次に $P_P$ と $P_L$ の関係式について考える。問題文に与えられている式

$\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L 5}$

を変形すると

$P_P = 4 + r \frac{s_P s_Q}{5}$

ここで、問題文より通常 $P_L > P_P$ が成り立つとあるので、 $r < 0$ であるから、$P_P$ は $4$ よりも小さい値になる。

$P_P = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{P_{it} Q_{it}}{\sum_{i=1}^n P_{i0} Q_{i0}}}{1} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}})}$

$P_P = \frac{\sum_{i=1}^n P_{it} Q_{it}}{\sum_{i=1}^n P_{i0} Q_{i0}}$

空欄2は1、空欄3は$P_L$になる。

次に、

$\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_Ps_Q}{P_L 5}$

において、4は$P_L$であり、5は$s_{PQ}$なので、空欄4は$P_L$、空欄5は$s_{PQ}$になる。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 1

3: 1

4: 1

5: 5