温度 $T$ の環境下で、物質量 $n$ の理想気体が取手付きピストンのある容器に封入されている。容器の上部は真空である。気体は容器を通して外界と自由に熱をやり取りできる。ピストンの質量は無視できるほど小さく、滑らかに動く。ピストンが最上部にあるときの気体の体積は $V_0$ である。重力加速度の大きさは $g$ を用いる。 (i) ピストンの取手におもり $A$ をのせると、ピストンは下降し、静止したときの気体の体積は $V_1$ となった。ピストンの断面積を $A$ として、おもり $A$ の質量 $m$ を求める。 (ii) おもりをのせる・取り除く過程について、 1. おもり $A$ の上にさらにおもり $B$ をのせると、ピストンは下降し、静止したときの気体の体積は $V_2$ となった。この過程で気体が外にした仕事 $L_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q_{1 \to 2}$ を求める。 2. おもり $B$ を取り除くと、気体の体積は $V_1$ に戻りピストンは静止した。この過程で気体が外にした仕事 $L_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q_{2 \to 1}$ を求める。 3. 1.と2.を繰り返すサイクルで、気体が外にした仕事の和が負であることを確認する。 4. 上記のサイクルで、気体が得た熱の和を求め、気体が発熱・吸熱のどちらをしたのかを答える。 (iii) おもりの代わりに、取手にかかる手ごたえを感じながら力を加減して、等温準静的に圧縮・膨張させる。 1. $V_1$ から $V_2$ に等温準静的に圧縮させるとき、気体が外にした仕事 $L'_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q'_{1 \to 2}$ を求める。 2. $V_2$ から $V_1$ に等温準静的に膨張させるとき、気体が外にした仕事 $L'_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q'_{2 \to 1}$ を求める。 3. 1.と2.を繰り返すサイクルで、気体が外にした仕事の和と、得た熱の和をそれぞれ求める。 (iv) $V_2$ まで圧縮されている状態で、ピストンに作用している力をなくすと、気体は急膨張して体積は $V_0$ になった。この過程で気体が外にした仕事 $L''_{2 \to 0}$ と得た熱 $Q''_{2 \to 0}$ を求める。 (v) (ii)〜(iii)の中で、気体が得た熱が最も大きくなるのはどの過程になるか、理由をつけて答える。

1. 問題の内容

温度 $T$ の環境下で、物質量 $n$ の理想気体が取手付きピストンのある容器に封入されている。容器の上部は真空である。気体は容器を通して外界と自由に熱をやり取りできる。ピストンの質量は無視できるほど小さく、滑らかに動く。ピストンが最上部にあるときの気体の体積は $V_0$ である。重力加速度の大きさは $g$ を用いる。

(i) ピストンの取手におもり $A$ をのせると、ピストンは下降し、静止したときの気体の体積は $V_1$ となった。ピストンの断面積を $A$ として、おもり $A$ の質量 $m$ を求める。

(ii) おもりをのせる・取り除く過程について、

1. おもり $A$ の上にさらにおもり $B$ をのせると、ピストンは下降し、静止したときの気体の体積は $V_2$ となった。この過程で気体が外にした仕事 $L_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q_{1 \to 2}$ を求める。

2. おもり $B$ を取り除くと、気体の体積は $V_1$ に戻りピストンは静止した。この過程で気体が外にした仕事 $L_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q_{2 \to 1}$ を求める。

3. 1.と2.を繰り返すサイクルで、気体が外にした仕事の和が負であることを確認する。

4. 上記のサイクルで、気体が得た熱の和を求め、気体が発熱・吸熱のどちらをしたのかを答える。

(iii) おもりの代わりに、取手にかかる手ごたえを感じながら力を加減して、等温準静的に圧縮・膨張させる。

1. $V_1$ から $V_2$ に等温準静的に圧縮させるとき、気体が外にした仕事 $L'_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q'_{1 \to 2}$ を求める。

2. $V_2$ から $V_1$ に等温準静的に膨張させるとき、気体が外にした仕事 $L'_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q'_{2 \to 1}$ を求める。

3. 1.と2.を繰り返すサイクルで、気体が外にした仕事の和と、得た熱の和をそれぞれ求める。

(iv) $V_2$ まで圧縮されている状態で、ピストンに作用している力をなくすと、気体は急膨張して体積は $V_0$ になった。この過程で気体が外にした仕事 $L''_{2 \to 0}$ と得た熱 $Q''_{2 \to 0}$ を求める。

(v) (ii)〜(iii)の中で、気体が得た熱が最も大きくなるのはどの過程になるか、理由をつけて答える。

2. 解き方の手順

(i)

ピストンが静止しているとき、ピストンにかかる力は釣り合っている。

下向きの力はおもり $A$ の重力 $mg$ と気体の圧力 $P_1$ によって生じる力 $P_1 A$ である。上向きの力は大気圧による力はない(真空なので)。

ピストンの上部が真空なので、$P_0 = 0$となり、$P_1$が釣り合っている。

$P_0V_0 = nRT$

$P_1V_1 = nRT$

より、

$P_1 = \frac{nRT}{V_1}$

$mg = P_1 A$

$m = \frac{P_1A}{g} = \frac{nRTA}{V_1g}$

(ii)

1. おもり $A$ と $B$ がピストンに乗っているときの圧力を $P_2$、体積を $V_2$ とする。

$P_2V_2 = nRT$

$P_2 = \frac{nRT}{V_2}$

$L_{1 \to 2} = \int_{V_1}^{V_2} P dV = (P_2) (V_1-V_2)= (P_2 A) (V_1-V_2)$

$Q_{1 \to 2} = \Delta U + L_{1 \to 2} = 0 + (P_2 A) (V_1-V_2) =(P_2 A) (V_1-V_2)= \frac{nRT (V_2-V_1)}{V_2}$。等温過程なので$\Delta U =0$

2. おもり $B$ を取り除くと、気体の体積は $V_1$ に戻る。

$L_{2 \to 1} = (P_1 A) (V_2 - V_1) = \frac{nRT (V_2-V_1)}{V_1} < 0$

$Q_{2 \to 1} = -L_{2 \to 1} = \frac{nRT (V_1-V_2)}{V_1}$

3. $L_{1 \to 2} + L_{2 \to 1} = \frac{nRT (V_2-V_1)}{V_2}+ \frac{nRT (V_2-V_1)}{V_1}=nRT (V_2-V_1)(\frac{1}{V_2}+ \frac{1}{V_1})$

気体が外にした仕事の和 = $L_{1 \to 2} + L_{2 \to 1} = P_2 (V_2 - V_1) + P_1 (V_1 - V_2) = (V_2 - V_1) (P_2 - P_1)$

$V_2 < V_1$ なので $V_2 - V_1 < 0$。また $P_2 > P_1$ なので $P_2 - P_1 > 0$。

したがって、$(V_2 - V_1) (P_2 - P_1) < 0$ である。

4. 気体が得た熱の和 = $Q_{1 \to 2} + Q_{2 \to 1} = \frac{nRT (V_1-V_2)}{V_2}+ \frac{nRT (V_1-V_2)}{V_1}=nRT (V_1-V_2)(\frac{1}{V_2}+ \frac{1}{V_1}) > 0$

$Q > 0$ なので吸熱。

(iii)

1. 等温準静的なので、$L'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$

$Q'_{1 \to 2} = -L'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$

2. 等温準静的なので、$L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$

$Q'_{2 \to 1} = -L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$

3. 仕事の和 = $L'_{1 \to 2} + L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2} + nRT \ln \frac{V_2}{V_1} = 0$

熱の和 = $Q'_{1 \to 2} + Q'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1} + nRT \ln \frac{V_1}{V_2} = 0$

(iv)

急膨張なので、気体は仕事をしない $L''_{2 \to 0} = 0$

また、断熱膨張なので、$Q''_{2 \to 0} = 0$

(v)

(ii)の過程1.で、$Q_{1 \to 2}=nRT \frac{(V_1-V_2)}{V_2}>0$

(iii)の過程1.で、$Q'_{1 \to 2}=nRT \ln\frac{V_1}{V_2}>0$

(ii)の過程1.は等圧過程で、(iii)の過程1.は等温過程。$ln \frac{V_1}{V_2} >\frac{V_1-V_2}{V_2}$

よって、(iii)の過程1.で得た熱が最も大きくなる。

3. 最終的な答え

(i) $m = \frac{nRTA}{V_1g}$

(ii)

1. $L_{1 \to 2} = nRT \frac{V_1-V_2}{V_2}$, $Q_{1 \to 2} = nRT \frac{V_2-V_1}{V_2}$

2. $L_{2 \to 1} = nRT \frac{V_2-V_1}{V_1}$, $Q_{2 \to 1} = nRT \frac{V_1-V_2}{V_1}$

3. 確認済み

4. 吸熱

(iii)

1. $L'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$, $Q'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$

2. $L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$, $Q'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$

3. 仕事の和 = 0, 熱の和 = 0

(iv) $L''_{2 \to 0} = 0$, $Q''_{2 \to 0} = 0$

(v) (iii)の過程

1.