断熱壁で囲まれた容器1と容器2があり、それぞれ理想気体が封入されています。容器1は容積が変化せず、初期温度が $T_1$ です。容器2はピストン付きで、初期温度が $T_2 (<T_1)$ 、圧力が $P_2$ です。容器1と容器2は熱的に接触しており、気体の定積モル比熱は $c_V$ です。 (i) ピストンが動かないように固定されている場合、熱平衡状態になったときの気体の温度 $T_{(i)}$ を求めます。 (ii) ピストンは固定されておらず、常に一定の圧力 $P_2$ を加えている場合、熱平衡状態になったときの気体の温度 $T_{(ii)}$ を求めます。 (iii) (i) と (ii) でどちらの温度が高くなるかを答え、その物理的な意味を考察します。

1. 問題の内容

断熱壁で囲まれた容器1と容器2があり、それぞれ理想気体が封入されています。容器1は容積が変化せず、初期温度が $T_1$ です。容器2はピストン付きで、初期温度が $T_2 (<T_1)$ 、圧力が $P_2$ です。容器1と容器2は熱的に接触しており、気体の定積モル比熱は $c_V$ です。

(i) ピストンが動かないように固定されている場合、熱平衡状態になったときの気体の温度 $T_{(i)}$ を求めます。

(ii) ピストンは固定されておらず、常に一定の圧力 $P_2$ を加えている場合、熱平衡状態になったときの気体の温度 $T_{(ii)}$ を求めます。

(iii) (i) と (ii) でどちらの温度が高くなるかを答え、その物理的な意味を考察します。

2. 解き方の手順

(i) ピストンが固定されている場合

容器1と容器2の体積をそれぞれ $V_1$、$V_2$ とします。物質量が同じなので、モル数を $n$ とおくと、容器1の初期状態は、$P_1V_1 = nRT_1$、容器2の初期状態は、$P_2V_2 = nRT_2$となります。

ピストンが固定されているため、$V_1$と$V_2$は一定です。熱平衡状態になったときの温度を$T_{(i)}$とすると、容器1の圧力は$P_1' = \frac{nRT_{(i)}}{V_1}$、容器2の圧力は$P_2' = \frac{nRT_{(i)}}{V_2}$となります。

内部エネルギーの変化の和は0なので、$\Delta U_1 + \Delta U_2 = 0$。

$nc_V(T_{(i)} - T_1) + nc_V(T_{(i)} - T_2) = 0$

$T_{(i)} - T_1 + T_{(i)} - T_2 = 0$

$2T_{(i)} = T_1 + T_2$

$T_{(i)} = \frac{T_1 + T_2}{2}$

(ii) ピストンが固定されていない場合

ピストンには常に圧力$P_2$がかかっているため、容器2の圧力は常に$P_2$です。容器1の初期状態は$P_1V_1 = nRT_1$です。熱平衡状態になった時の温度を$T_{(ii)}$、容器1の圧力を$P_1''$、容器2の体積を$V_2'$とすると、$P_1''V_1 = nRT_{(ii)}$、$P_2V_2' = nRT_{(ii)}$となります。

この時、容器1の体積は変化しませんが、容器2の体積は変化します。

全エネルギーの変化は0なので、$\Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta W= 0$となります。

ここで、$\Delta U_1 = nc_V(T_{(ii)} - T_1)$, $\Delta U_2 = nc_V(T_{(ii)} - T_2)$, $\Delta W = P_2(V_2' - V_2)$です。

$nc_V(T_{(ii)} - T_1) + nc_V(T_{(ii)} - T_2) + P_2(V_2' - V_2) = 0$

$2nc_VT_{(ii)} - nc_V(T_1+T_2) + P_2V_2' - P_2V_2 = 0$

$2nc_VT_{(ii)} - nc_V(T_1+T_2) + nRT_{(ii)} - nRT_2 = 0$

$(2c_V+R)T_{(ii)} = c_V(T_1+T_2) + RT_2$

$T_{(ii)} = \frac{c_V(T_1+T_2) + RT_2}{2c_V + R}$

$T_{(ii)} = \frac{c_VT_1 + (c_V+R)T_2}{2c_V + R}$

(iii) (i) と (ii) の温度比較

$T_{(i)} = \frac{T_1 + T_2}{2}$

$T_{(ii)} = \frac{c_VT_1 + (c_V+R)T_2}{2c_V + R}$

$T_{(ii)} - T_{(i)} = \frac{c_VT_1 + (c_V+R)T_2}{2c_V + R} - \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{2c_VT_1 + 2(c_V+R)T_2 - (2c_V+R)(T_1+T_2)}{2(2c_V+R)} = \frac{2c_VT_1 + 2c_VT_2 + 2RT_2 - 2c_VT_1 - 2c_VT_2 - RT_1 - RT_2}{2(2c_V+R)} = \frac{RT_2 - RT_1}{2(2c_V+R)} = \frac{R(T_2-T_1)}{2(2c_V+R)}$

$T_2 < T_1$ より、$T_{(ii)} - T_{(i)} < 0$。したがって、$T_{(i)} > T_{(ii)}$。

物理的な意味：(ii)の場合、ピストンが動くことで外部に仕事をするため、その分、内部エネルギーが減少し、温度が低くなります。

3. 最終的な答え

(i) $T_{(i)} = \frac{T_1 + T_2}{2}$

(ii) $T_{(ii)} = \frac{c_VT_1 + (c_V+R)T_2}{2c_V + R}$

(iii) $T_{(i)} > T_{(ii)}$