バネ定数$k$のバネで壁に取り付けられた、質量$m$の2つの振動子が、バネ定数$k'$のバネで繋がれた連成振動系について考察します。 (a) それぞれの質点の平衡位置からの変位を$x_1$, $x_2$として、運動方程式を立てる。 (b) 運動方程式の解を$x_1 = C_1\sin(\omega t + \alpha)$, $x_2 = C_2\sin(\omega t + \alpha)$と仮定し、$C_1 = C_2 = 0$以外の解が成立するための$\omega$が満たすべき特性方程式を導く。 (c) 特性方程式から連成振動の基準角振動数$\omega$と、対応する振幅$C_1$, $C_2$の関係を求め、それぞれの基準振動に対応する振動の様子を定性的に説明する。 (d) 連成振動の一般解は、基準振動の線形結合で表されることを利用し、連成振動に2つの周期運動が重なり合ったうなりが現れることを説明する。

はい、承知いたしました。与えられた問題について、順を追って解説します。

1. 問題の内容

バネ定数$k$のバネで壁に取り付けられた、質量$m$の2つの振動子が、バネ定数$k'$のバネで繋がれた連成振動系について考察します。

(a) それぞれの質点の平衡位置からの変位を$x_1$, $x_2$として、運動方程式を立てる。

(b) 運動方程式の解を$x_1 = C_1\sin(\omega t + \alpha)$, $x_2 = C_2\sin(\omega t + \alpha)$と仮定し、$C_1 = C_2 = 0$以外の解が成立するための$\omega$が満たすべき特性方程式を導く。

(c) 特性方程式から連成振動の基準角振動数$\omega$と、対応する振幅$C_1$, $C_2$の関係を求め、それぞれの基準振動に対応する振動の様子を定性的に説明する。

(d) 連成振動の一般解は、基準振動の線形結合で表されることを利用し、連成振動に2つの周期運動が重なり合ったうなりが現れることを説明する。

2. 解き方の手順

(a) 運動方程式

質点1について、バネ$k$と$k'$による力を考慮すると、運動方程式は

$m\ddot{x_1} = -kx_1 + k'(x_2 - x_1)$

質点2について、バネ$k$と$k'$による力を考慮すると、運動方程式は

$m\ddot{x_2} = -kx_2 - k'(x_2 - x_1)$

これらを整理すると、

$m\ddot{x_1} + (k+k')x_1 - k'x_2 = 0$

$m\ddot{x_2} + (k+k')x_2 - k'x_1 = 0$

(b) 特性方程式

$x_1 = C_1\sin(\omega t + \alpha)$, $x_2 = C_2\sin(\omega t + \alpha)$を上記の運動方程式に代入すると、

$-m\omega^2 C_1 + (k+k')C_1 - k'C_2 = 0$

$-m\omega^2 C_2 + (k+k')C_2 - k'C_1 = 0$

これらを整理すると、

$((k+k') - m\omega^2)C_1 - k'C_2 = 0$

$-k'C_1 + ((k+k') - m\omega^2)C_2 = 0$

$C_1, C_2$が自明な解でないためには、係数行列の行列式が0でなければならない。

$\begin{vmatrix} (k+k') - m\omega^2 & -k' \\ -k' & (k+k') - m\omega^2 \end{vmatrix} = 0$

よって、特性方程式は

$((k+k') - m\omega^2)^2 - (k')^2 = 0$

(c) 基準角振動数と振幅の関係

特性方程式を解くと、

$(k+k') - m\omega^2 = \pm k'$

$m\omega^2 = k+k' \pm k'$

$\omega^2 = \frac{k+k' \pm k'}{m}$

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, $\omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$

$\omega_1$に対応する場合：

$(k+k' - m\omega_1^2)C_1 - k'C_2 = 0$

$(k+k' - k)C_1 - k'C_2 = 0$

$k'C_1 - k'C_2 = 0$

$C_1 = C_2$

このとき、2つの質点は同じ方向に同じ振幅で振動する。

$\omega_2$に対応する場合：

$(k+k' - m\omega_2^2)C_1 - k'C_2 = 0$

$(k+k' - k - 2k')C_1 - k'C_2 = 0$

$-k'C_1 - k'C_2 = 0$

$C_1 = -C_2$

このとき、2つの質点は逆方向に同じ振幅で振動する。

(d) 連成振動の一般解

一般解は、2つの基準振動の線形結合で表される。

$x_1(t) = A\sin(\omega_1 t + \alpha) + B\sin(\omega_2 t + \beta)$

$x_2(t) = A\sin(\omega_1 t + \alpha) - B\sin(\omega_2 t + \beta)$

$\omega_1 \neq \omega_2$なので、2つの周期運動が重なり合い、うなりが生じる。

3. 最終的な答え

(a) 運動方程式:

$m\ddot{x_1} + (k+k')x_1 - k'x_2 = 0$

$m\ddot{x_2} + (k+k')x_2 - k'x_1 = 0$

(b) 特性方程式:

$((k+k') - m\omega^2)^2 - (k')^2 = 0$

(c) 基準角振動数:

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, $\omega_2 = \sqrt{\frac{k+2k'}{m}}$

$\omega_1$のとき$C_1 = C_2$ (同位相)、$\omega_2$のとき$C_1 = -C_2$ (逆位相)

(d) 2つの基準振動の重ね合わせにより、うなりが生じる。