空欄 1 から 5 に当てはまるものを、選択肢 1 から 10 の中から選ぶ問題です。 与えられた情報から、ラスパイレス価格指数($P_L$)、パーシェ価格指数($P_P$)、数量指数($Q_L$)、基準時点の支出シェアのウェイト($w_{i0}$)、およびこれらの関係を表す数式が与えられています。

1. 問題の内容

空欄 1 から 5 に当てはまるものを、選択肢 1 から 10 の中から選ぶ問題です。

与えられた情報から、ラスパイレス価格指数($P_L$)、パーシェ価格指数($P_P$)、数量指数($Q_L$)、基準時点の支出シェアのウェイト($w_{i0}$)、およびこれらの関係を表す数式が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$s_{PQ}$ の式を完成させます。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = \boxed{2} (\boxed{3} - P_L)$

$s_{PQ}$の式を展開します。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} - \frac{Q_{it}}{Q_{i0}}P_L - \frac{P_{it}}{P_{i0}}Q_L + P_LQ_L)$

ここで、$\sum_{i=1}^{n}w_{i0}\frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} \frac{P_{i0}Q_{i0}}{P_{it}Q_{it}}} = P_P$ 、 $\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{Q_{it}}{Q_{i0}} = Q_L$ および $\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}}{P_{i0}} = P_L$を使用すると、

$s_{PQ} = P_P - P_L Q_L - Q_L P_L + P_L Q_L = P_P - Q_L P_L$ となります。

問題文より、$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = \boxed{\sum_{i=1}^{n} w_{i0} \frac{P_{it}Q_{it}}{P_{i0}Q_{i0}} - Q_L P_L}$ となります。

したがって、$\boxed{2}$ は $P_P$ となります。($P_P$は選択肢3)

また、$\boxed{3}$は$Q_L$となります。($Q_L$は選択肢2)

次に、$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = r\frac{s_P s_Q}{P_L \boxed{5}}$を考えます。

テキストから、$r = \frac{s_{PQ}}{s_P s_Q}$であるため、$r s_P s_Q = s_{PQ}$ となります。

したがって、$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = \frac{s_{PQ}}{P_L \boxed{5}}$ となります。

$s_{PQ} = P_P - P_L Q_L$ を代入すると、$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = \frac{P_P - P_L Q_L}{P_L \boxed{5}}$となります。

$P_L > P_P$となることを示唆している箇所を参考にすると、$\boxed{4}$には$P_L Q_L$が入ることが予想されます。

$\frac{P_P - P_L Q_L}{P_L} = \frac{s_{PQ}}{P_L \boxed{5}}$より$\boxed{5}=1$となります。($P_L$は選択肢1)

$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = r\frac{s_P s_Q}{P_L \boxed{5}}$より、$r = \frac{s_{PQ}}{s_Ps_Q}$、$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = P_P - P_L Q_L$を用いると、

$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = \frac{s_{PQ}}{P_L \boxed{5}} = \frac{P_P - P_L Q_L}{P_L \boxed{5}}$

$\frac{P_P}{P_L} - \frac{\boxed{4}}{P_L} = \frac{P_P}{P_L \boxed{5}} - \frac{P_L Q_L}{P_L \boxed{5}}$より、$\frac{\boxed{4}}{P_L} = \frac{P_L Q_L}{P_L \boxed{5}}$となるため、$\boxed{4} = P_L Q_L / \boxed{5}$、また$\boxed{5} =1$より、$\boxed{4} = P_LQ_L$となります。

選択肢に$P_LQ_L$がないため、テキストから数式を導出する必要があります。

$P_L Q_L$を導くことができません。

問題文の通り計算を進めていきます。

$s_{PQ}$の式を再度確認します。$s_{PQ} = P_P - Q_L P_L$です。

$\frac{P_P - \boxed{4}}{P_L} = r\frac{s_P s_Q}{P_L \boxed{5}} = \frac{s_{PQ}}{P_L \boxed{5}} = \frac{P_P - Q_L P_L}{P_L \boxed{5}}$です。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 2

3: $P_L Q_L$が見つけられませんでした。

4: 1