ラスパイレス価格指数($P_L$)とパーシェ価格指数($P_P$)の関係について述べられています。具体的には、まず基準時点の支出シェアのウェイト$w_{i0}$が定義され、$P_L$, 数量指数($Q_L$), $P_P$ がそれぞれ$w_{i0}$を用いて定義されています。そして、$w_{i0}$をウェイトとする$\frac{P_{it}}{P_{i0}}$と$\frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$の共分散$s_{PQ}$が与えられ、最後に$P_L$と$P_P$の関係式 $\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L 5}$ が与えられています。問題は、共分散の式に含まれる空欄を埋めることと、この関係式を用いることを前提としています。

1. 問題の内容

ラスパイレス価格指数($P_L$)とパーシェ価格指数($P_P$)の関係について述べられています。具体的には、まず基準時点の支出シェアのウェイト$w_{i0}$が定義され、$P_L$, 数量指数($Q_L$), $P_P$ がそれぞれ$w_{i0}$を用いて定義されています。そして、$w_{i0}$をウェイトとする$\frac{P_{it}}{P_{i0}}$と$\frac{Q_{it}}{Q_{i0}}$の共分散$s_{PQ}$が与えられ、最後に$P_L$と$P_P$の関係式 $\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L 5}$ が与えられています。問題は、共分散の式に含まれる空欄を埋めることと、この関係式を用いることを前提としています。

2. 解き方の手順

まず、$s_{PQ}$の式を注意深く観察します。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = 2(3-P_L)$

式中の空白の部分を埋める必要があります。

次に、与えられた関係式 $\frac{P_P - 4}{P_L} = r \frac{s_P s_Q}{P_L 5}$ を使います。

3. 最終的な答え

共分散の式は問題文に記載されているので、以下が答えです。

$s_{PQ} = \sum_{i=1}^{n} w_{i0} (\frac{P_{it}}{P_{i0}} - P_L)(\frac{Q_{it}}{Q_{i0}} - Q_L) = 2(3-P_L)$