ある工場で製品Aと製品Bを製造する。製品Aを1トン作るには原料Pが2トン、原料Qが4トン必要。製品Bを1トン作るには原料Pが6トン、原料Qが2トン必要。1ヶ月あたり、原料Pは140トン、原料Qは120トンまでしか入手できない。製品Aは1トンあたり30万円の利益、製品Bは1トンあたり20万円の利益が得られる。1ヶ月に製品Aと製品Bをそれぞれ何トンずつ製造すれば利益が最大になるか、また、そのときの利益を求めよ。

1. 問題の内容

ある工場で製品Aと製品Bを製造する。製品Aを1トン作るには原料Pが2トン、原料Qが4トン必要。製品Bを1トン作るには原料Pが6トン、原料Qが2トン必要。1ヶ月あたり、原料Pは140トン、原料Qは120トンまでしか入手できない。製品Aは1トンあたり30万円の利益、製品Bは1トンあたり20万円の利益が得られる。1ヶ月に製品Aと製品Bをそれぞれ何トンずつ製造すれば利益が最大になるか、また、そのときの利益を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は線形計画法を用いて解くことができます。

* 製品Aの生産量を$x$トン、製品Bの生産量を$y$トンとします。

* 目的関数（利益）を$Z$とすると、最大化すべき関数は次のようになります。

$Z = 30x + 20y$

* 制約条件は以下のようになります。

* 原料Pに関する制約: $2x + 6y \le 140$

* 原料Qに関する制約: $4x + 2y \le 120$

* 生産量に関する制約: $x \ge 0, y \ge 0$

* 制約条件を変形します。

* $x + 3y \le 70$

* $2x + y \le 60$

* グラフを描き、実行可能領域を求めます。

* 実行可能領域の頂点の座標を求めます。

* $(0, 0)$

* $(0, \frac{70}{3})$

* $(30, 0)$

* $x + 3y = 70$ と $2x + y = 60$ の交点を求めます。

連立方程式を解くと、$x=26$、$y=14$

* 各頂点における目的関数$Z$の値を計算します。

* $(0, 0)$: $Z = 30(0) + 20(0) = 0$

* $(0, \frac{70}{3})$: $Z = 30(0) + 20(\frac{70}{3}) = \frac{1400}{3} \approx 466.67$

* $(30, 0)$: $Z = 30(30) + 20(0) = 900$

* $(26, 14)$: $Z = 30(26) + 20(14) = 780 + 280 = 1060$

* 目的関数$Z$が最大となるのは、$(x, y) = (26, 14)$のときです。

3. 最終的な答え

製品Aを26トン、製品Bを14トン製造すると利益が最大になり、そのときの利益は1060万円です。