アルゴンガスを初期体積 $2000 \ cm^3$ から最終体積 $500 \ cm^3$ まで圧縮し、同時に初期温度 $300 \ K$ から最終温度 $400 \ K$ まで加熱した時の、モルエントロピーの変化を計算する問題です。ただし、定積モル熱容量 $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ とし、有効桁数3桁で解答します。

1. 問題の内容

アルゴンガスを初期体積 $2000 \ cm^3$ から最終体積 $500 \ cm^3$ まで圧縮し、同時に初期温度 $300 \ K$ から最終温度 $400 \ K$ まで加熱した時の、モルエントロピーの変化を計算する問題です。ただし、定積モル熱容量 $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ とし、有効桁数3桁で解答します。

2. 解き方の手順

モルエントロピーの変化 $\Delta S_m$ は、温度変化によるエントロピー変化 $\Delta S_{T}$ と体積変化によるエントロピー変化 $\Delta S_{V}$ の和で表されます。

$\Delta S_m = \Delta S_{T} + \Delta S_{V}$

温度変化によるエントロピー変化は、以下の式で表されます。

$\Delta S_{T} = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{V,m}}{T} dT + R \ln{\frac{V_2}{V_1}}$

体積変化によるエントロピー変化は、以下の式で表されます。

$\Delta S_{V} = nR \ln \frac{V_2}{V_1}$

与えられた条件 $C_{V,m} = \frac{3}{2}R$ を用いると、

$\Delta S_{T} = \int_{T_1}^{T_2} \frac{C_{V,m}}{T} dT= C_{V,m} \ln \frac{T_2}{T_1}$

よって、モルエントロピーの変化は、

$\Delta S_m = C_{V,m} \ln \frac{T_2}{T_1}+ R \ln \frac{V_2}{V_1} = \frac{3}{2}R \ln \frac{T_2}{T_1} + R \ln \frac{V_2}{V_1}$

ここで、

$T_1 = 300 \ K$

$T_2 = 400 \ K$

$V_1 = 2000 \ cm^3$

$V_2 = 500 \ cm^3$

$R = 8.314 \ J/(mol \cdot K)$

これらの値を代入すると、

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln \frac{400}{300} + 8.314 \times \ln \frac{500}{2000}$

$\Delta S_m = \frac{3}{2} \times 8.314 \times \ln \frac{4}{3} + 8.314 \times \ln \frac{1}{4}$

$\Delta S_m = 12.471 \times \ln \frac{4}{3} + 8.314 \times \ln \frac{1}{4}$

$\Delta S_m = 12.471 \times 0.28768 + 8.314 \times (-1.38629)$

$\Delta S_m = 3.5882 - 11.525$

$\Delta S_m = -7.9368 \ J/(mol \cdot K)$

有効桁数3桁で表すと、

$\Delta S_m = -7.94 \ J/(mol \cdot K)$

3. 最終的な答え

-7.94 J/(mol・K)