3点$(1, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 3)$を近似する回帰直線の式を、最小二乗法を用いて求める。

1. 問題の内容

3点$(1, 1)$, $(2, 5)$, $(3, 3)$を近似する回帰直線の式を、最小二乗法を用いて求める。

2. 解き方の手順

回帰直線を $y = ax + b$ とおく。最小二乗法では、残差の二乗和 $S$ を最小にする $a$ と $b$ を求める。

$S = (a \cdot 1 + b - 1)^2 + (a \cdot 2 + b - 5)^2 + (a \cdot 3 + b - 3)^2$

$S$ を $a$ と $b$ で偏微分して、それぞれ0とおくことで連立方程式を得る。

$\frac{\partial S}{\partial a} = 2(a + b - 1) + 4(2a + b - 5) + 6(3a + b - 3) = 0$

$\frac{\partial S}{\partial b} = 2(a + b - 1) + 2(2a + b - 5) + 2(3a + b - 3) = 0$

整理すると、

$14a + 6b = 29$

$6a + 3b = 9$

この連立方程式を解く。2番目の式を2倍すると $12a + 6b = 18$ となる。

1番目の式からこの式を引くと $2a = 11$ より $a = \frac{11}{2} = 5.5$。

$6 \cdot \frac{11}{2} + 3b = 9$ より $33 + 3b = 9$ なので $3b = -24$ より $b = -8$。

したがって、回帰直線の方程式は $y = 5.5x - 8$。

3. 最終的な答え

$y = 5.5x - 8$