GaAs中の電子の移動度 $\mu$ が $8500 \text{ cm}^2/\text{Vs}$、電子密度 $n$ が $1.0 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3}$、電子の有効質量 $m_e^*$ が $6.1 \times 10^{-32} \text{ kg}$ であるとき、電子の緩和時間 $\tau$ と抵抗率 $\rho$ を求める問題です。

1. 問題の内容

GaAs中の電子の移動度 $\mu$ が $8500 \text{ cm}^2/\text{Vs}$、電子密度 $n$ が $1.0 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3}$、電子の有効質量 $m_e^*$ が $6.1 \times 10^{-32} \text{ kg}$ であるとき、電子の緩和時間 $\tau$ と抵抗率 $\rho$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 緩和時間 $\tau$ の計算

緩和時間 $\tau$ は、移動度 $\mu$ と有効質量 $m_e^*$ を用いて以下の式で求められます。

$\mu = \frac{e \tau}{m_e^*}$

ここで、$e$ は電気素量であり、$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$ です。

上式を変形すると、

$\tau = \frac{\mu m_e^*}{e}$

単位をSI単位系に変換します。

$\mu = 8500 \text{ cm}^2/\text{Vs} = 8500 \times (10^{-2} \text{ m})^2 / \text{Vs} = 0.85 \text{ m}^2/\text{Vs}$

$\tau = \frac{0.85 \text{ m}^2/\text{Vs} \times 6.1 \times 10^{-32} \text{ kg}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ C}}$

$\tau \approx 3.24 \times 10^{-13} \text{ s}$

(2) 抵抗率 $\rho$ の計算

抵抗率 $\rho$ は、電子密度 $n$ と移動度 $\mu$ を用いて以下の式で求められます。

$\rho = \frac{1}{n e \mu}$

電子密度 $n$ をSI単位系に変換します。

$n = 1.0 \times 10^{15} \text{ cm}^{-3} = 1.0 \times 10^{15} \times (10^2 \text{ m})^3 = 1.0 \times 10^{21} \text{ m}^{-3}$

$\rho = \frac{1}{1.0 \times 10^{21} \text{ m}^{-3} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ C} \times 0.85 \text{ m}^2/\text{Vs}}$

$\rho \approx 0.00734 \ \Omega \cdot \text{m}$

3. 最終的な答え

緩和時間 $\tau$ は $3.24 \times 10^{-13} \text{ 秒}$ です。

抵抗率 $\rho$ は $0.00734 \ \Omega \cdot \text{m}$ です。