ある工場で製品Aと製品Bを生産します。製品A, Bを1トン生産するのに必要な原料P, Qの量と製品A, Bの価格が表で与えられています。この工場へ1日に供給できる原料Pが最大9トン、原料Qが最大8トンのとき、工場で1日に生産される製品A, Bの総価格を最大にするには、A, Bをそれぞれ1日に何トンずつ生産すればよいか求める問題です。

1. 問題の内容

ある工場で製品Aと製品Bを生産します。製品A, Bを1トン生産するのに必要な原料P, Qの量と製品A, Bの価格が表で与えられています。この工場へ1日に供給できる原料Pが最大9トン、原料Qが最大8トンのとき、工場で1日に生産される製品A, Bの総価格を最大にするには、A, Bをそれぞれ1日に何トンずつ生産すればよいか求める問題です。

2. 解き方の手順

製品Aの生産量を $x$ トン、製品Bの生産量を $y$ トンとします。

総価格 $S$ は、$S = 2x + y$ （万円）となります。これを最大化します。

制約条件は以下の通りです。

* 原料Pの制約： $3x + y \le 9$

* 原料Qの制約： $x + 2y \le 8$

* $x \ge 0, y \ge 0$

これらの制約条件のもとで、$S = 2x + y$ を最大化します。

まず、制約条件をグラフに図示します。

$3x + y = 9$ は $y = -3x + 9$ となります。

$x + 2y = 8$ は $2y = -x + 8$ より、$y = -\frac{1}{2}x + 4$ となります。

これらの直線の交点を求めます。

$-3x + 9 = -\frac{1}{2}x + 4$

$9 - 4 = 3x - \frac{1}{2}x$

$5 = \frac{5}{2}x$

$x = 2$

$y = -3(2) + 9 = 3$

したがって、交点は $(2, 3)$ です。

次に、実行可能領域の頂点における $S = 2x + y$ の値を計算します。

* $(0, 0)$ のとき、$S = 2(0) + 0 = 0$

* $(3, 0)$ のとき、$S = 2(3) + 0 = 6$

* $(0, 4)$ のとき、$S = 2(0) + 4 = 4$

* $(2, 3)$ のとき、$S = 2(2) + 3 = 7$

総価格 $S$ が最大となるのは、$(x, y) = (2, 3)$ のときで、最大値は7万円です。

3. 最終的な答え

製品Aを2トン、製品Bを3トン生産するとき、総価格が最大になります。