室温における銅の抵抗率 $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ [\Omega \cdot m]$、電子密度 $n = 8.5 \times 10^{28} \ [m^{-3}]$であるとする。電子の移動度 $\mu \ [cm^2/Vs]$ および緩和時間 $\tau \ [s]$ を求めよ。また、1.0 [V/cm] の電界が印加された場合の電子のドリフト速度 $v_d \ [m/s]$ を求めよ。ただし、電子の有効質量は $m_e^* = 9.1 \times 10^{-31} \ [kg]$ とする。

1. 問題の内容

室温における銅の抵抗率 $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \ [\Omega \cdot m]$、電子密度 $n = 8.5 \times 10^{28} \ [m^{-3}]$であるとする。電子の移動度 $\mu \ [cm^2/Vs]$ および緩和時間 $\tau \ [s]$ を求めよ。また、1.0 [V/cm] の電界が印加された場合の電子のドリフト速度 $v_d \ [m/s]$ を求めよ。ただし、電子の有効質量は $m_e^* = 9.1 \times 10^{-31} \ [kg]$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 緩和時間 $\tau$ の計算

緩和時間 $\tau$ は、以下の式で計算できます。

$\rho = \frac{m_e^*}{n e^2 \tau}$

ここで、$e = 1.602 \times 10^{-19} \ [C]$ は電気素量です。

$\tau$ について解くと、

$\tau = \frac{m_e^*}{n e^2 \rho}$

$\tau = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{(8.5 \times 10^{28}) \times (1.602 \times 10^{-19})^2 \times (1.7 \times 10^{-8})}$

$\tau \approx 2.46 \times 10^{-14} \ [s]$

(2) 電子の移動度 $\mu$ の計算

電子の移動度 $\mu$ は、以下の式で計算できます。

$\mu = \frac{e \tau}{m_e^*}$

$\mu = \frac{1.602 \times 10^{-19} \times 2.46 \times 10^{-14}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 4.32 \times 10^{-3} \ [m^2/Vs]$

問題文の単位に合わせて、$cm^2/Vs$ に変換します。

$\mu = 4.32 \times 10^{-3} \ [m^2/Vs] = 4.32 \times 10^{-3} \times (100)^2 \ [cm^2/Vs] = 43.2 \ [cm^2/Vs]$

(3) ドリフト速度 $v_d$ の計算

ドリフト速度 $v_d$ は、以下の式で計算できます。

$v_d = \mu E$

ここで、$E$ は電界の強さです。$E = 1.0 \ [V/cm] = 1.0 \times 10^2 \ [V/m]$ です。

$v_d = 4.32 \times 10^{-3} \times 10^2 = 0.432 \ [m/s]$

3. 最終的な答え

緩和時間 $\tau$: $2.46 \times 10^{-14} \ [s]$

電子の移動度 $\mu$: $43.2 \ [cm^2/Vs]$

ドリフト速度 $v_d$: $0.432 \ [m/s]$