x-z平面上の2次元ベクトル場 $\vec{F} = -\frac{1}{2}z\hat{i} + x\hat{k}$ の回転を計算します。ここで $\hat{i}$ はx軸方向の単位ベクトル、$\hat{k}$ はz軸方向の単位ベクトルです。

1. 問題の内容

x-z平面上の2次元ベクトル場 $\vec{F} = -\frac{1}{2}z\hat{i} + x\hat{k}$ の回転を計算します。ここで $\hat{i}$ はx軸方向の単位ベクトル、$\hat{k}$ はz軸方向の単位ベクトルです。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル場 $\vec{F}$ の回転を計算します。2次元ベクトル場 $\vec{F} = P(x,z)\hat{i} + Q(x,z)\hat{k}$ の回転は、以下のように定義されます。

$rot(\vec{F}) = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z}$

今回のベクトル場では、$P(x,z) = -\frac{1}{2}z$ であり、$Q(x,z) = x$ です。したがって、偏微分は以下のようになります。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-\frac{1}{2}z) = -\frac{1}{2}$

よって、回転は以下のようになります。

$rot(\vec{F}) = 1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

ベクトル場 $\vec{F} = -\frac{1}{2}z\hat{i} + x\hat{k}$ の回転は $\frac{3}{2}$ です。