与えられた微分方程式は、以下の通りです。 $y'' + y = t$ 初期条件は、$t=0$のとき、$y(0) = 1$、$y'(0) = -2$です。

はい、承知いたしました。微分方程式の問題ですね。今回は、問題(1) $y'' + y = t$ のラプラス変換を利用した解法を説明します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式は、以下の通りです。

$y'' + y = t$

初期条件は、$t=0$のとき、$y(0) = 1$、$y'(0) = -2$です。

2. 解き方の手順

(1) ラプラス変換の適用:

微分方程式の両辺をラプラス変換します。ラプラス変換の線形性より、

$L[y'' + y] = L[t]$

ここで、$Y(s) = L[y(t)]$とおくと、ラプラス変換の性質から、

$L[y''] = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L[y] = Y(s)$

$L[t] = \frac{1}{s^2}$

したがって、

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + Y(s) = \frac{1}{s^2}$

(2) 初期条件の代入:

初期条件$y(0) = 1$、$y'(0) = -2$を代入します。

$s^2Y(s) - s(1) - (-2) + Y(s) = \frac{1}{s^2}$

$s^2Y(s) - s + 2 + Y(s) = \frac{1}{s^2}$

(3) $Y(s)$について解く:

$Y(s)$について式を整理します。

$(s^2 + 1)Y(s) = \frac{1}{s^2} + s - 2$

$Y(s) = \frac{1}{s^2(s^2 + 1)} + \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{2}{s^2 + 1}$

(4) 部分分数分解:

$\frac{1}{s^2(s^2 + 1)}$を部分分数分解します。

$\frac{1}{s^2(s^2 + 1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s^2} + \frac{Cs + D}{s^2 + 1}$

$1 = As(s^2 + 1) + B(s^2 + 1) + (Cs + D)s^2$

$1 = As^3 + As + Bs^2 + B + Cs^3 + Ds^2$

係数を比較して、

$A + C = 0$

$B + D = 0$

$A = 0$

$B = 1$

したがって、$A=0, B=1, C=0, D=-1$

$\frac{1}{s^2(s^2 + 1)} = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2 + 1}$

(5) 逆ラプラス変換:

$Y(s)$を逆ラプラス変換します。

$y(t) = L^{-1}[Y(s)] = L^{-1}[\frac{1}{s^2} - \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{2}{s^2 + 1}]$

$y(t) = L^{-1}[\frac{1}{s^2}] - L^{-1}[\frac{1}{s^2 + 1}] + L^{-1}[\frac{s}{s^2 + 1}] - 2L^{-1}[\frac{1}{s^2 + 1}]$

$y(t) = t - \sin t + \cos t - 2\sin t$

$y(t) = t - 3\sin t + \cos t$

3. 最終的な答え

$y(t) = t - 3\sin t + \cos t$