幅 $b = 20$ mm を一定とした矩形断面の片持ち梁（長さ $L = 0.6$ m）に先端荷重 $P = 1.0 \times 10^3$ N を作用させる。梁全体の曲げ応力 $\sigma = 100$ MPa が一定となるようにしたい。この場合、固定端から $x = 0.40$ m の位置で必要な梁の断面高さ $h$ (mm) はいくらか。

1. 問題の内容

幅 $b = 20$ mm を一定とした矩形断面の片持ち梁（長さ $L = 0.6$ m）に先端荷重 $P = 1.0 \times 10^3$ N を作用させる。梁全体の曲げ応力 $\sigma = 100$ MPa が一定となるようにしたい。この場合、固定端から $x = 0.40$ m の位置で必要な梁の断面高さ $h$ (mm) はいくらか。

2. 解き方の手順

片持ち梁の先端に荷重がかかる場合の曲げモーメントは、固定端からの距離を $x$ とすると、

$M = P(L-x)$

で表されます。

曲げ応力は

$\sigma = \frac{M}{Z}$

で表され、矩形断面の断面係数 $Z$ は

$Z = \frac{bh^2}{6}$

で表されます。

問題文より、$\sigma$ が一定なので、

$\sigma = \frac{M}{Z} = \frac{P(L-x)}{\frac{bh^2}{6}} = \frac{6P(L-x)}{bh^2}$

が一定です。

この式を $h^2$ について解くと

$h^2 = \frac{6P(L-x)}{b\sigma}$

したがって、

$h = \sqrt{\frac{6P(L-x)}{b\sigma}}$

となります。

ここで、$P = 1.0 \times 10^3$ N, $L = 0.6$ m, $x = 0.4$ m, $b = 20$ mm $= 0.02$ m, $\sigma = 100$ MPa $= 100 \times 10^6$ Pa を代入すると、

$h = \sqrt{\frac{6 \times 1.0 \times 10^3 \times (0.6 - 0.4)}{0.02 \times 100 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{6 \times 10^3 \times 0.2}{0.02 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{1.2 \times 10^3}{2 \times 10^6}} = \sqrt{0.6 \times 10^{-3}} = \sqrt{6 \times 10^{-4}} = \sqrt{6} \times 10^{-2} \approx 2.45 \times 10^{-2}$ m $= 24.5$ mm

最も近い値は $25$ mm です。

3. 最終的な答え

25 mm