問題1：長さ $L = 1.0 \, \text{m}$ の片持ち梁に先端荷重 $P = 1.0 \times 10^3 \, \text{N}$ が作用する。梁材料のヤング率を $E = 200 \, \text{GPa}$、断面2次モーメントを $I = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$ とするとき、先端の最大たわみ $\delta_{max}$ の大きさ (mm) を求めよ。 問題2：長さ・材料・断面は問題1と同じ梁を、今度は両端支持とし、中央に同じ荷重 $P = 1.0 \times 10^3 \, \text{N}$ を作用させる。最大たわみ $\delta_{max}$ の大きさ (mm) を求めよ。

1. 問題の内容

問題1：長さ $L = 1.0 \, \text{m}$ の片持ち梁に先端荷重 $P = 1.0 \times 10^3 \, \text{N}$ が作用する。梁材料のヤング率を $E = 200 \, \text{GPa}$、断面2次モーメントを $I = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^4$ とするとき、先端の最大たわみ $\delta_{max}$ の大きさ (mm) を求めよ。

問題2：長さ・材料・断面は問題1と同じ梁を、今度は両端支持とし、中央に同じ荷重 $P = 1.0 \times 10^3 \, \text{N}$ を作用させる。最大たわみ $\delta_{max}$ の大きさ (mm) を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：片持ち梁の先端に集中荷重が作用する場合の最大たわみの公式を使用する。

$$\delta_{max} = \frac{PL^3}{3EI}$$

問題2：両端支持梁の中央に集中荷重が作用する場合の最大たわみの公式を使用する。

$$\delta_{max} = \frac{PL^3}{48EI}$$

問題1の計算

ヤング率をPa単位に変換：$E = 200 \, \text{GPa} = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$

値を代入して計算する。

$$\delta_{max} = \frac{(1.0 \times 10^3 \, \text{N}) \times (1.0 \, \text{m})^3}{3 \times (200 \times 10^9 \, \text{Pa}) \times (8.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^4)}$$

$$\delta_{max} = \frac{1.0 \times 10^3}{3 \times 200 \times 10^9 \times 8.0 \times 10^{-6}} \, \text{m}$$

$$\delta_{max} = \frac{1000}{4800000} \, \text{m} = \frac{1}{4800} \, \text{m} \approx 0.0002083 \, \text{m}$$

mm単位に変換：$\delta_{max} \approx 0.2083 \, \text{mm} \approx 0.21 \, \text{mm}$

問題2の計算

問題1と同じパラメータで、式が異なる。

$$\delta_{max} = \frac{(1.0 \times 10^3 \, \text{N}) \times (1.0 \, \text{m})^3}{48 \times (200 \times 10^9 \, \text{Pa}) \times (8.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^4)}$$

$$\delta_{max} = \frac{1.0 \times 10^3}{48 \times 200 \times 10^9 \times 8.0 \times 10^{-6}} \, \text{m}$$

$$\delta_{max} = \frac{1000}{76800000} \, \text{m} = \frac{1}{76800} \, \text{m} \approx 0.00001302 \, \text{m}$$

mm単位に変換：$\delta_{max} \approx 0.01302 \, \text{mm}$

3. 最終的な答え

問題1：0.21 mm

問題2：0.013 mm