与えられたベクトル場Aに対して、回転 rot A を計算する問題です。ここでは、(3) の場合について解きます。 ベクトル場は $A(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$ で与えられています。

1. 問題の内容

与えられたベクトル場Aに対して、回転 rot A を計算する問題です。ここでは、(3) の場合について解きます。

ベクトル場は $A(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$ で与えられています。

2. 解き方の手順

回転 rot A は、次のように計算できます。

$rot A = \nabla \times A = (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y})$

ここで、$A = (A_x, A_y, A_z)$ です。

与えられたベクトル場 $A(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$ に対して、各偏微分を計算します。

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{\partial (0)}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = \frac{\partial (-\frac{x}{x^2+y^2})}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{x}{x^2+y^2})}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = \frac{\partial (0)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial (-\frac{x}{x^2+y^2})}{\partial x} = -\frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{x}{x^2+y^2})}{\partial y} = \frac{0 - x(2y)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$

したがって、回転 rot A は次のようになります。

$rot A = (0 - 0, 0 - 0, \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} - (-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}))$

$rot A = (0, 0, \frac{x^2-y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2})$

3. 最終的な答え

$rot A = (0, 0, \frac{x^2-y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2})$