ラプラス変換を用いて、微分方程式 $y'' + 4y = \sin t$ を解け。初期条件は特に指定されていません。

1. 問題の内容

ラプラス変換を用いて、微分方程式 $y'' + 4y = \sin t$ を解け。初期条件は特に指定されていません。

2. 解き方の手順

(1) ラプラス変換を適用する。$Y(s) = L\{y(t)\}$と置く。

ラプラス変換の性質より、以下が成り立つ。

$L\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L\{\sin t\} = \frac{1}{s^2+1}$

したがって、与えられた微分方程式のラプラス変換は

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4Y(s) = \frac{1}{s^2+1}$

(2) $Y(s)$について解く。

$Y(s)(s^2+4) = \frac{1}{s^2+1} + sy(0) + y'(0)$

$Y(s) = \frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} + \frac{sy(0)}{s^2+4} + \frac{y'(0)}{s^2+4}$

(3) 部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} = \frac{A}{s^2+1} + \frac{B}{s^2+4}$

$1 = A(s^2+4) + B(s^2+1)$

$1 = (A+B)s^2 + (4A+B)$

$A+B=0$

$4A+B=1$

これらを解くと$A=1/3$, $B=-1/3$

したがって、$\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} = \frac{1}{3}\frac{1}{s^2+1} - \frac{1}{3}\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{3}\frac{1}{s^2+1} - \frac{1}{6}\frac{2}{s^2+4}$

(4) 逆ラプラス変換を行う。

$y(t) = L^{-1}\{Y(s)\} = L^{-1}\{\frac{1}{3}\frac{1}{s^2+1} - \frac{1}{6}\frac{2}{s^2+4} + \frac{sy(0)}{s^2+4} + \frac{y'(0)}{s^2+4}\}$

$y(t) = \frac{1}{3}L^{-1}\{\frac{1}{s^2+1}\} - \frac{1}{6}L^{-1}\{\frac{2}{s^2+4}\} + y(0)L^{-1}\{\frac{s}{s^2+4}\} + \frac{y'(0)}{2}L^{-1}\{\frac{2}{s^2+4}\}$

$y(t) = \frac{1}{3}\sin t - \frac{1}{6}\sin 2t + y(0)\cos 2t + \frac{y'(0)}{2}\sin 2t$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{1}{3}\sin t - \frac{1}{6}\sin 2t + y(0)\cos 2t + \frac{y'(0)}{2}\sin 2t$