ベクトル $\vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}$ とベクトル $\vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 a) i) $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を成分で表せ。 ii) $\vec{B} \times \vec{A}$ を成分で表せ。 iii) $\text{div} \vec{B}$ を成分で表せ。 b) ナブラ演算子 $\nabla$ を用いて、$\text{grad} \phi$, $\text{div} \vec{A}$ および $\text{rot} \vec{A}$ を導出せよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k}$ とベクトル $\vec{B} = B_x \vec{i} + B_y \vec{j} + B_z \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

a)

i) $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を成分で表せ。

ii) $\vec{B} \times \vec{A}$ を成分で表せ。

iii) $\text{div} \vec{B}$ を成分で表せ。

b) ナブラ演算子 $\nabla$ を用いて、$\text{grad} \phi$, $\text{div} \vec{A}$ および $\text{rot} \vec{A}$ を導出せよ。

2. 解き方の手順

a)

i) ベクトルの内積は、対応する成分の積の和で計算される。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

ii) ベクトルの外積は、以下の行列式で計算される。

$\vec{B} \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ B_x & B_y & B_z \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$

$= (B_y A_z - B_z A_y) \vec{i} - (B_x A_z - B_z A_x) \vec{j} + (B_x A_y - B_y A_x) \vec{k}$

iii) ベクトルの発散は、ナブラ演算子とベクトルの内積で計算される。しかし、問題文では$\vec{B}$ の成分のみが与えられており、$\vec{B}$ が座標の関数として定義されていないため、ここでは $\text{div} \vec{B}$ は定義できない。もし $\vec{B}$ が位置 $\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ の関数 $\vec{B}(x, y, z)$ なら、

$\text{div} \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$ となる。

b)

ナブラ演算子 $\nabla$ は以下のように定義される。

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial}{\partial z} \vec{k}$

スカラー関数 $\phi(x, y, z)$ の勾配は、ナブラ演算子とスカラー関数の積で計算される。

$\text{grad} \phi = \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \vec{k}$

ベクトル関数 $\vec{A}(x, y, z)$ の発散は、ナブラ演算子とベクトル関数の内積で計算される。

$\text{div} \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

ベクトル関数 $\vec{A}(x, y, z)$ の回転は、ナブラ演算子とベクトル関数の外積で計算される。

$\text{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$

$= (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}) \vec{i} - (\frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z}) \vec{j} + (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) \vec{k}$

3. 最終的な答え

a)

i) $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

ii) $\vec{B} \times \vec{A} = (B_y A_z - B_z A_y) \vec{i} - (B_x A_z - B_z A_x) \vec{j} + (B_x A_y - B_y A_x) \vec{k}$

iii) $\text{div} \vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z}$

b)

$\text{grad} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \vec{k}$

$\text{div} \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$

$\text{rot} \vec{A} = (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}) \vec{i} - (\frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z}) \vec{j} + (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}) \vec{k}$