与えられたベクトル演算式がどのような状態を示すかを、図と文章で説明する問題です。 (a) $\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$ (b) $\vec{C} = (\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{E}$ (ただし、$\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{E}$ の向きは異なる) (c) $\text{grad } f = \vec{0}$ ($f$ は2次元のスカラー場、$\vec{0}$ はゼロベクトル)

1. 問題の内容

与えられたベクトル演算式がどのような状態を示すかを、図と文章で説明する問題です。

(a) $\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$

(b) $\vec{C} = (\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{E}$ (ただし、$\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{E}$ の向きは異なる)

(c) $\text{grad } f = \vec{0}$ ($f$ は2次元のスカラー場、$\vec{0}$ はゼロベクトル)

2. 解き方の手順

(a) $\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$ について

ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の内積は、$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta}$ で表されます。ここで、$\theta$ は $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角です。$\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$ ということは、$|\vec{A}| |\vec{B}| \cos{\theta} > 0$ であり、$|\vec{A}|$ と $|\vec{B}|$ はベクトルの大きさなので正の値をとります。したがって、$\cos{\theta} > 0$ である必要があります。$\cos{\theta} > 0$ となるのは、$0^\circ \leq \theta < 90^\circ$ または $270^\circ < \theta \leq 360^\circ$ のときです。つまり、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角が鋭角である場合、または$\vec{A}$と$\vec{B}$のなす角が反時計回りに270度より大きく、360度以下である場合です。

図：ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ を描き、それらのなす角 $\theta$ が鋭角になっているようにします。

(b) $\vec{C} = (\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{E}$ について

ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の和 $(\vec{A} + \vec{B})$ は、$\vec{A}$ と $\vec{B}$ を辺とする平行四辺形の対角線で表されます。$\vec{C}$ は $(\vec{A} + \vec{B})$ と $\vec{E}$ の外積で求められます。外積 $\vec{C} = (\vec{A} + \vec{B}) \times \vec{E}$ は、$(\vec{A} + \vec{B})$ と $\vec{E}$ の両方に垂直なベクトルであり、その大きさは $|(\vec{A} + \vec{B})| |\vec{E}| \sin{\theta}$ です。ここで、$\theta$ は $(\vec{A} + \vec{B})$ と $\vec{E}$ のなす角です。$\vec{C}$ の向きは、右手系の法則に従います。

図：ベクトル $\vec{A}$、$\vec{B}$、$\vec{E}$ を描き、それらの和 $\vec{A}+\vec{B}$ を平行四辺形を使って示します。また、$\vec{C}$ が $(\vec{A}+\vec{B})$ と $\vec{E}$ の両方に垂直になるように描きます。

(c) $\text{grad } f = \vec{0}$ について

$\text{grad } f$ は、$f$ の勾配（グラディエント）ベクトルであり、 $f$ の最も急な増加方向とその方向への変化率を表します。$\text{grad } f = \vec{0}$ ということは、$f$ の最も急な増加方向が存在せず、どの方向に進んでも $f$ の値が変化しないことを意味します。つまり、$f$ は極値（極大値、極小値、または鞍点）をとる点です。

2次元スカラー場の場合、$f(x, y)$ とすると、$\text{grad } f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) = (0, 0)$ です。

図：2次元平面上に、等高線を描き、極大値、極小値、または鞍点となる点で等高線が一点に集まるか、または鞍点のような形状になっていることを示します。

3. 最終的な答え

(a) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角が鋭角である。

(b) $\vec{C}$ は、$\vec{A}+\vec{B}$ と $\vec{E}$ の両方に垂直なベクトルである。

(c) $f$ は極値（極大、極小、または鞍点）をとる点である。