与えられた微分方程式 $y'' + 4y = \sin{t}$ を、初期条件 $y(0) = 0$ および $y'(0) = 0$ の下で、ラプラス変換を用いて解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y'' + 4y = \sin{t}$ を、初期条件 $y(0) = 0$ および $y'(0) = 0$ の下で、ラプラス変換を用いて解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。$Y(s)$ を $y(t)$ のラプラス変換とすると、

$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$

$\mathcal{L}\{\sin{t}\} = \frac{1}{s^2 + 1}$

初期条件 $y(0) = 0$ と $y'(0) = 0$ を代入すると、

$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s)$

したがって、ラプラス変換された微分方程式は、

$s^2Y(s) + 4Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1}$

$Y(s)$ について解くと、

$Y(s)(s^2 + 4) = \frac{1}{s^2 + 1}$

$Y(s) = \frac{1}{(s^2 + 4)(s^2 + 1)}$

次に、$Y(s)$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{(s^2 + 4)(s^2 + 1)} = \frac{A}{s^2 + 4} + \frac{B}{s^2 + 1}$

$1 = A(s^2 + 1) + B(s^2 + 4)$

$1 = (A+B)s^2 + (A+4B)$

両辺の係数を比較すると、

$A+B = 0$

$A+4B = 1$

これらの式を解くと、$A = -\frac{1}{3}$ および $B = \frac{1}{3}$ となります。したがって、

$Y(s) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s^2 + 4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s^2 + 1}$

$Y(s) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{s^2 + 2^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{s^2 + 1^2}$

最後に、$Y(s)$ を逆ラプラス変換して、$y(t)$ を求めます。

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2}{s^2 + 2^2}\right\} = \sin{2t}$

$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 1^2}\right\} = \sin{t}$

したがって、

$y(t) = -\frac{1}{6} \sin{2t} + \frac{1}{3} \sin{t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = \frac{1}{3}\sin{t} - \frac{1}{6}\sin{2t}$