ベクトル $\vec{A} = \vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 a) $(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B})$ を計算する。 b) $|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})|$ を計算する。 c) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を求める。 d) $\phi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\Delta \phi$ を求める。（$\Delta$ はおそらくラプラシアン $\nabla^2$ のことだと思われるので、$\nabla^2 \phi$ を求めます。）

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = \vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

a) $(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B})$ を計算する。

b) $|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})|$ を計算する。

c) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を求める。

d) $\phi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\Delta \phi$ を求める。（$\Delta$ はおそらくラプラシアン $\nabla^2$ のことだと思われるので、$\nabla^2 \phi$ を求めます。）

2. 解き方の手順

a) $(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B})$ を計算する。

まず、 $2\vec{A}$ を計算します。

$2\vec{A} = 2(\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}) = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 6\vec{k}$

次に、 $\vec{B} - 2\vec{A}$ を計算します。

$\vec{B} - 2\vec{A} = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) - (2\vec{i} + 2\vec{j} + 6\vec{k}) = -\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k}$

次に、 $2\vec{A} + \vec{B}$ を計算します。

$2\vec{A} + \vec{B} = (2\vec{i} + 2\vec{j} + 6\vec{k}) + (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) = 3\vec{i} + 0\vec{j} + 9\vec{k}$

最後に、内積 $(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B})$ を計算します。

$(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B}) = (-\vec{i} - 4\vec{j} - 3\vec{k}) \cdot (3\vec{i} + 0\vec{j} + 9\vec{k}) = (-1)(3) + (-4)(0) + (-3)(9) = -3 + 0 - 27 = -30$

b) $|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})|$ を計算する。

まず、 $\vec{A} - \vec{C}$ を計算します。

$\vec{A} - \vec{C} = (\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}) - (3\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k}) = -2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}$

次に、 $3(\vec{A} - \vec{C})$ を計算します。

$3(\vec{A} - \vec{C}) = 3(-2\vec{i} - 3\vec{j} + 2\vec{k}) = -6\vec{i} - 9\vec{j} + 6\vec{k}$

次に、 $\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})$ を計算します。

$\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C}) = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) \times (-6\vec{i} - 9\vec{j} + 6\vec{k}) =

\begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

1 & -2 & 3 \\

-6 & -9 & 6

\end{vmatrix} = (-12 - (-27))\vec{i} - (6 - (-18))\vec{j} + (-9 - 12)\vec{k} = 15\vec{i} - 24\vec{j} - 21\vec{k}$

最後に、 $|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})|$ を計算します。

$|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})| = |15\vec{i} - 24\vec{j} - 21\vec{k}| = \sqrt{15^2 + (-24)^2 + (-21)^2} = \sqrt{225 + 576 + 441} = \sqrt{1242} = 3\sqrt{138}$

c) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos\theta$ を求める。

$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}$

まず、 $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を計算します。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}) \cdot (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) = (1)(1) + (1)(-2) + (3)(3) = 1 - 2 + 9 = 8$

次に、 $|\vec{A}|$ を計算します。

$|\vec{A}| = |\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$

次に、 $|\vec{B}|$ を計算します。

$|\vec{B}| = |\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

したがって、 $\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{11}\sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{154}} = \frac{8\sqrt{154}}{154} = \frac{4\sqrt{154}}{77}$

d) $\phi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\nabla^2 \phi$ を求める。

$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$

まず、 $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = z^2 + 3y^3$

次に、 $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}$ を計算します。

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 0$

次に、 $\frac{\partial \phi}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 9xy^2$

次に、 $\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}$ を計算します。

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 18xy$

次に、 $\frac{\partial \phi}{\partial z}$ を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 2xz$

次に、 $\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$ を計算します。

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 2x$

したがって、 $\nabla^2 \phi = 0 + 18xy + 2x = 2x + 18xy = 2x(1+9y)$

3. 最終的な答え

a) $(\vec{B} - 2\vec{A}) \cdot (2\vec{A} + \vec{B}) = -30$

b) $|\vec{B} \times 3(\vec{A} - \vec{C})| = 3\sqrt{138}$

c) $\cos\theta = \frac{4\sqrt{154}}{77}$

d) $\nabla^2 \phi = 2x(1+9y)$