ベクトル $E = E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}$ および $A = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の値をベクトル $E$、$A$ または $E$ だけの成分を用いて表し、$\nabla \phi = \text{grad} \phi$ を導出せよ。 i) $A \cdot E$ ii) $E \times A$ iii) $\text{div} E$

1. 問題の内容

ベクトル $E = E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}$ および $A = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の値をベクトル $E$、$A$ または $E$ だけの成分を用いて表し、$\nabla \phi = \text{grad} \phi$ を導出せよ。

i) $A \cdot E$

ii) $E \times A$

iii) $\text{div} E$

2. 解き方の手順

a)

i) ベクトルの内積の定義より、

$A \cdot E = (A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}) \cdot (E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}) = A_x E_x + A_y E_y + A_z E_z$

ii) ベクトルの外積の定義より、

$E \times A = (E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}) \times (A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ E_x & E_y & E_z \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = (E_y A_z - E_z A_y) \mathbf{i} + (E_z A_x - E_x A_z) \mathbf{j} + (E_x A_y - E_y A_x) \mathbf{k}$

iii) 発散（ダイバージェンス）の定義より、

$\text{div} E = \nabla \cdot E = \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot (E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k}) = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$

b)

$\nabla \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}$

勾配（グラディエント）の定義より、

$\text{grad} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}$

したがって、

$\nabla \phi = \text{grad} \phi$

3. 最終的な答え

a)

i) $A \cdot E = A_x E_x + A_y E_y + A_z E_z$

ii) $E \times A = (E_y A_z - E_z A_y) \mathbf{i} + (E_z A_x - E_x A_z) \mathbf{j} + (E_x A_y - E_y A_x) \mathbf{k}$

iii) $\text{div} E = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$

b)

$\nabla \phi = \text{grad} \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}$