白熱電球の発熱体が黒体であると仮定して、以下の問いに答えます。 (i) ある白熱電球から放射される光の最も強度の高い波長が $1.07 \ \mu m$ であったとき、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度 $T [K]$ を求めます。 (ii) この白熱電球の発熱体が単位時間・単位面積当たりに放出するエネルギー $W [W/m^2]$ を求めます。 (iii) この発熱体の表面積が $0.30 \ cm^2$ であるとき、放出されるエネルギーは何 $W$ かを求めます。 (iv) 可視光線の波長 $\lambda$ は $380 \ nm \sim 750 \ nm$ で、それより長い波長 $750 \ nm \sim 1000 \ nm$ は赤外線と分類されます。 (i) で求めた $T$ で、可視光線波長、赤外線波長における放出エネルギー $W_V, W_{IR}$ をプランクの法則から計算し、 これらの値と (ii) の結果を用いて、放出される全エネルギーに対する、照明（可視光）のエネルギーと赤外線のエネルギーの割合を計算し、その結果から白熱電灯は「照明器」というよりは「赤外線照射器(暖房機器)」であることを示します。 $I(\lambda, T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}$ $W_V = \int_{380 \ nm}^{750 \ nm} I(\lambda, T) d\lambda \approx 2.2 \times 10^2 \ kW/m^2$ $W_{IR} = \int_{750 \ nm}^{1000 \ nm} I(\lambda, T) d\lambda \approx 2.8 \times 10^3 \ kW/m^2$

1. 問題の内容

白熱電球の発熱体が黒体であると仮定して、以下の問いに答えます。

(i) ある白熱電球から放射される光の最も強度の高い波長が $1.07 \ \mu m$ であったとき、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度 $T [K]$ を求めます。

(ii) この白熱電球の発熱体が単位時間・単位面積当たりに放出するエネルギー $W [W/m^2]$ を求めます。

(iii) この発熱体の表面積が $0.30 \ cm^2$ であるとき、放出されるエネルギーは何 $W$ かを求めます。

(iv) 可視光線の波長 $\lambda$ は $380 \ nm \sim 750 \ nm$ で、それより長い波長 $750 \ nm \sim 1000 \ nm$ は赤外線と分類されます。

(i) で求めた $T$ で、可視光線波長、赤外線波長における放出エネルギー $W_V, W_{IR}$ をプランクの法則から計算し、

これらの値と (ii) の結果を用いて、放出される全エネルギーに対する、照明（可視光）のエネルギーと赤外線のエネルギーの割合を計算し、その結果から白熱電灯は「照明器」というよりは「赤外線照射器(暖房機器)」であることを示します。

$I(\lambda, T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1}$

$W_V = \int_{380 \ nm}^{750 \ nm} I(\lambda, T) d\lambda \approx 2.2 \times 10^2 \ kW/m^2$

$W_{IR} = \int_{750 \ nm}^{1000 \ nm} I(\lambda, T) d\lambda \approx 2.8 \times 10^3 \ kW/m^2$

2. 解き方の手順

(i) ウィーンの変位則は $\lambda_{max} T = b$ で表されます。ここで、$\lambda_{max}$ は最も強度の高い波長、$T$ は温度、$b$ はウィーンの変位定数（$b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$）です。

$\lambda_{max} = 1.07 \ \mu m = 1.07 \times 10^{-6} \ m$ より、

$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K}{1.07 \times 10^{-6} \ m} \approx 2708 \ K$

(ii) ステファン・ボルツマンの法則によれば、黒体からの単位時間・単位面積当たりの放射エネルギーは $W = \sigma T^4$ で与えられます。ここで、$\sigma$ はステファン・ボルツマン定数（$\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2 K^4$）です。

したがって、$W = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2 K^4 \times (2708 \ K)^4 \approx 3.04 \times 10^6 \ W/m^2$

(iii) 発熱体の表面積が $0.30 \ cm^2 = 0.30 \times 10^{-4} \ m^2$ であるので、放出されるエネルギーは $P = W \times A$ で計算できます。

$P = 3.04 \times 10^6 \ W/m^2 \times 0.30 \times 10^{-4} \ m^2 = 91.2 \ W$

(iv) 与えられた $W_V \approx 2.2 \times 10^2 \ kW/m^2 = 2.2 \times 10^5 \ W/m^2$ 、$W_{IR} \approx 2.8 \times 10^3 \ kW/m^2 = 2.8 \times 10^6 \ W/m^2$ です。

全放射エネルギーは $W_{total} = W_V + W_{IR} = 2.2 \times 10^5 \ W/m^2 + 2.8 \times 10^6 \ W/m^2 = 3.02 \times 10^6 \ W/m^2$ です。

可視光のエネルギーの割合は $\frac{W_V}{W_{total}} = \frac{2.2 \times 10^5 \ W/m^2}{3.02 \times 10^6 \ W/m^2} \approx 0.073$

赤外線のエネルギーの割合は $\frac{W_{IR}}{W_{total}} = \frac{2.8 \times 10^6 \ W/m^2}{3.02 \times 10^6 \ W/m^2} \approx 0.927$

したがって、赤外線の割合が圧倒的に高いため、白熱電球は「照明器」というよりは「赤外線照射器(暖房機器)」であると言えます。

3. 最終的な答え

(i) $T \approx 2708 \ K$

(ii) $W \approx 3.04 \times 10^6 \ W/m^2$

(iii) $P = 91.2 \ W$

(iv) 赤外線の割合が圧倒的に高いため、白熱電球は「照明器」というよりは「赤外線照射器(暖房機器)」である。