この問題は、白熱電球の発熱体を黒体と仮定し、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度を求め、単位時間・単位面積当たりに放出するエネルギーを求め、さらに表面積が与えられた場合に放出されるエネルギーを計算する問題です。最後に、可視光線と赤外線の放出エネルギーの割合を計算し、白熱電球が照明器か赤外線照射器かを考察します。

1. 問題の内容

この問題は、白熱電球の発熱体を黒体と仮定し、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度を求め、単位時間・単位面積当たりに放出するエネルギーを求め、さらに表面積が与えられた場合に放出されるエネルギーを計算する問題です。最後に、可視光線と赤外線の放出エネルギーの割合を計算し、白熱電球が照明器か赤外線照射器かを考察します。

2. 解き方の手順

(i) ウィーンの変位則を使って温度を求める。

ウィーンの変位則は $\lambda_{max} T = b$ で表されます。ここで、$\lambda_{max}$ は最も強度が高い波長、$T$ は絶対温度、$b$ はウィーンの変位定数($b \approx 2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$)です。

$\lambda_{max} = 1.07 \ \mu m = 1.07 \times 10^{-6} \ m$ を代入して、$T$ を求めます。

$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{1.07 \times 10^{-6}} \approx 2708.4 \ K$

(ii) 単位時間・単位面積当たりのエネルギーを求める。

問題文には情報がありませんが、問題文(iv)で$W_V$と$W_{IR}$が与えられています。

全エネルギーは、$W_V + W_{IR}$で計算されます。

$W = W_V + W_{IR} = 2.2 \times 10^2 kW/m^2 + 2.8 \times 10^3 kW/m^2 = 0.22 \times 10^3 kW/m^2 + 2.8 \times 10^3 kW/m^2 = 3.02 \times 10^3 kW/m^2$

$W = 3.02 \times 10^6 W/m^2$

(iii) 表面積から放出されるエネルギーを求める。

表面積 $A = 0.30 \ cm^2 = 0.30 \times 10^{-4} \ m^2$ です。

放出されるエネルギー $E$ は、$E = W \times A$ で求められます。

$E = (3.02 \times 10^6 W/m^2) \times (0.30 \times 10^{-4} m^2) = 9.06 \times 10^1 W = 90.6 \ W$

(iv) 可視光線と赤外線の割合を計算する。

可視光線のエネルギー $W_V = 2.2 \times 10^2 \ kW/m^2 = 2.2 \times 10^5 \ W/m^2$

赤外線のエネルギー $W_{IR} = 2.8 \times 10^3 \ kW/m^2 = 2.8 \times 10^6 \ W/m^2$

全エネルギー $W = 3.02 \times 10^6 \ W/m^2$

可視光線の割合 = $\frac{W_V}{W} = \frac{2.2 \times 10^5}{3.02 \times 10^6} \approx 0.0728$

赤外線の割合 = $\frac{W_{IR}}{W} = \frac{2.8 \times 10^6}{3.02 \times 10^6} \approx 0.9272$

赤外線の割合が圧倒的に高いので、白熱電球は照明器というよりは赤外線照射器(暖房機器)であると言えます。

3. 最終的な答え

(i) 発熱体の温度 $T \approx 2708.4 \ K$

(ii) 単位時間・単位面積当たりのエネルギー $W = 3.02 \times 10^6 \ W/m^2$

(iii) 放出されるエネルギー $E = 90.6 \ W$

(iv) 白熱電球は照明器というよりは赤外線照射器(暖房機器)である。