関数 $f(x, y) = x + y$ の、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x + y$ の、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求めます。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda)$ を以下のように定義します。

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y) = x + y - \lambda \left( (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 \right)$

次に、偏微分を計算し、それらを0とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = - \left( (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 \right) = 0$

最初の2つの式から、

$x = \frac{2}{\lambda}$

$y = \frac{1}{2\lambda}$

これらを3番目の式に代入します。

$(\frac{1}{\lambda})^2 + (\frac{1}{2\lambda})^2 - 1 = 0$

$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{4 + 1}{4\lambda^2} = 1$

$4\lambda^2 = 5$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$x = \frac{2}{\lambda} = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$

$y = \frac{1}{2\lambda} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

ここで符号は $\lambda$ の符号と対応することに注意すると、

(i) $\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき:

$x = \frac{4}{\sqrt{5}}, \quad y = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$f(x, y) = x + y = \frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(ii) $\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき:

$x = -\frac{4}{\sqrt{5}}, \quad y = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$f(x, y) = x + y = -\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{5}$

最小値: $-\sqrt{5}$