白熱電球を黒体と仮定して、以下の3つの問いに答えます。 (i) 最も強度が高い波長が与えられたとき、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度 $T$ を求めます。 (ii) 発熱体が単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギー $W$ を求めます。 (iii) 発熱体の表面積が与えられたとき、放出されるエネルギーを求めます。

1. 問題の内容

白熱電球を黒体と仮定して、以下の3つの問いに答えます。

(i) 最も強度が高い波長が与えられたとき、ウィーンの変位則を用いて発熱体の温度 $T$ を求めます。

(ii) 発熱体が単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギー $W$ を求めます。

(iii) 発熱体の表面積が与えられたとき、放出されるエネルギーを求めます。

2. 解き方の手順

(i) ウィーンの変位則を用いて温度を求めます。ウィーンの変位則は、

$\lambda_{max} T = b$

と表されます。ここで、$\lambda_{max}$ は最も強度が高い波長、$T$ は絶対温度、$b$ はウィーンの変位定数です ($b \approx 2.898 \times 10^{-3} \text{ m K}$)。

$\lambda_{max} = 1.07 \mu \text{m} = 1.07 \times 10^{-6} \text{ m}$ を代入して、$T$ を求めます。

$T = \frac{b}{\lambda_{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \text{ m K}}{1.07 \times 10^{-6} \text{ m}} \approx 2708.4 \text{ K}$

(ii) ステファン=ボルツマンの法則を用いて、単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギーを求めます。ステファン=ボルツマンの法則は、

$W = \sigma T^4$

と表されます。ここで、$W$ は単位面積あたりの放射エネルギー、$\sigma$ はステファン=ボルツマン定数 ($\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$)、$T$ は絶対温度です。

求めた温度 $T$ を代入して、$W$ を求めます。

$W = \sigma T^4 = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4} \times (2708.4 \text{ K})^4 \approx 3044360.1 \text{ W/m}^2$

(iii) 発熱体の表面積が $0.30 \text{ cm}^2$ であるとき、放出されるエネルギーを求めます。表面積を $A = 0.30 \text{ cm}^2 = 0.30 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ とします。

放出されるエネルギーは、$W \times A$ で求められます。

$W \times A = 3044360.1 \text{ W/m}^2 \times 0.30 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \approx 91.33 \text{ W}$

3. 最終的な答え

(i) 発熱体の温度 $T$ は約 $2708.4 \text{ K}$ です。

(ii) 単位時間・単位面積あたりに放出するエネルギー $W$ は約 $3044360.1 \text{ W/m}^2$ です。

(iii) 放出されるエネルギーは約 $91.33 \text{ W}$ です。