断面積 $A$ のピストン付き容器に $n$ モルの理想気体が封入されている。容器の上部は真空である。 (i) ピストンの上に質量 $m$ のおもりAを置いたとき、気体の体積が $V_1$ となった。おもりAの質量 $m$ を求める。 (ii) おもりを載せたり外したりすることで圧縮・膨張させる。 ① Aの上にBを置いたとき、体積が $V_2$ となった。このとき気体が外部にした仕事 $L_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q_{1 \to 2}$ を求める。 ② Bを取り除いたとき、体積が $V_1$ に戻った。このとき気体が外部にした仕事 $L_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q_{2 \to 1}$ を求める。 ③ ①②を繰り返すとき、気体が外部にした仕事の和が負であることを確認する。 ④ ①②を繰り返すとき、気体が得た熱の和を求め、気体が発熱・吸熱のどちらをしたか答える。 (iii) 手ごたえを感じながら力を加減して、等温準静的に圧縮・膨張させる。 ① $V_1$ から $V_2$ に圧縮するとき、気体が外部にした仕事 $L'_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q'_{1 \to 2}$ を求める。 ② $V_2$ から $V_1$ に膨張するとき、気体が外部にした仕事 $L'_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q'_{2 \to 1}$ を求める。 ③ ①②を繰り返すとき、気体が外部にした仕事の和と、得た熱の和を求める。 (iv) $V_2$ まで圧縮された状態で、ピストンに作用している力をなくすと、急膨張して体積は $V_0$ になった。この過程で気体が外部にした仕事 $L''_{2 \to 0}$ と得た熱 $Q''_{2 \to 0}$ を求める。 (v) (ii)~(iii) の中で、気体が得た熱が最も大きくなるのはどの過程か、理由を付けて答える。

1. 問題の内容

断面積 $A$ のピストン付き容器に $n$ モルの理想気体が封入されている。容器の上部は真空である。

(i) ピストンの上に質量 $m$ のおもりAを置いたとき、気体の体積が $V_1$ となった。おもりAの質量 $m$ を求める。

(ii) おもりを載せたり外したりすることで圧縮・膨張させる。

① Aの上にBを置いたとき、体積が $V_2$ となった。このとき気体が外部にした仕事 $L_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q_{1 \to 2}$ を求める。

② Bを取り除いたとき、体積が $V_1$ に戻った。このとき気体が外部にした仕事 $L_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q_{2 \to 1}$ を求める。

③ ①②を繰り返すとき、気体が外部にした仕事の和が負であることを確認する。

④ ①②を繰り返すとき、気体が得た熱の和を求め、気体が発熱・吸熱のどちらをしたか答える。

(iii) 手ごたえを感じながら力を加減して、等温準静的に圧縮・膨張させる。

① $V_1$ から $V_2$ に圧縮するとき、気体が外部にした仕事 $L'_{1 \to 2}$ と気体が得た熱 $Q'_{1 \to 2}$ を求める。

② $V_2$ から $V_1$ に膨張するとき、気体が外部にした仕事 $L'_{2 \to 1}$ と気体が得た熱 $Q'_{2 \to 1}$ を求める。

③ ①②を繰り返すとき、気体が外部にした仕事の和と、得た熱の和を求める。

(iv) $V_2$ まで圧縮された状態で、ピストンに作用している力をなくすと、急膨張して体積は $V_0$ になった。この過程で気体が外部にした仕事 $L''_{2 \to 0}$ と得た熱 $Q''_{2 \to 0}$ を求める。

(v) (ii)~(iii) の中で、気体が得た熱が最も大きくなるのはどの過程か、理由を付けて答える。

2. 解き方の手順

(i)

ピストンにかかる力は、おもりAの重力 $mg$ と気体の圧力 $P_1$ による力 $P_1 A$ である。ピストンが静止しているので、これらの力は釣り合っている。容器の上部は真空なので、外からの圧力はゼロである。

理想気体の状態方程式より、$P_1 V_1 = nRT$ が成り立つ。

したがって、$P_1 = \frac{nRT}{V_1}$ であり、$mg = P_1 A = \frac{nRT}{V_1} A$ である。

よって、$m = \frac{nRT A}{g V_1}$。

(ii)

① AとBが載っているときの圧力を $P_2$、体積を $V_2$ とする。Bの質量を$m_B$とする。

$P_2 V_2 = nRT$ より、$P_2 = \frac{nRT}{V_2}$。

$P_2 A = mg + m_B g$ だから、$m_B = \frac{nRT A}{g V_2} - m = \frac{nRT A}{g V_2} - \frac{nRT A}{g V_1} = \frac{nRT A}{g} (\frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1})$。

気体が外にした仕事 $L_{1 \to 2} = \int_{V_1}^{V_2} P dV = (P_2 - 0) (V_1 - V_2) = P_2(V_1-V_2) = (mg+m_B g)(V_1-V_2) / A= (mg + m_B g) \Delta h$. ここで $\Delta h$ はピストンの下降距離。

$L_{1 \to 2} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2) > 0$ (圧縮なので体積は減少、$V_1 > V_2$)

等温過程なので内部エネルギーの変化 $\Delta U = 0$ である。

熱力学第一法則より、$\Delta U = Q - L$、したがって $Q_{1 \to 2} = L_{1 \to 2} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2)$。

② Bを取り除いたときの圧力を $P_1$、体積を $V_1$ とする。

$L_{2 \to 1} = \int_{V_2}^{V_1} P dV = (P_1 - 0) (V_2 - V_1) = P_1 (V_2-V_1) = (mg)(V_2-V_1) / A = (mg)\Delta h$.

$L_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1) < 0$ (膨張なので体積は増加、$V_2 < V_1$)

等温過程なので内部エネルギーの変化 $\Delta U = 0$ である。

熱力学第一法則より、$\Delta U = Q - L$、したがって $Q_{2 \to 1} = L_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1)$。

③ 1サイクルでの仕事の和は $L = L_{1 \to 2} + L_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2) + \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1) = nRT (V_1 - V_2) (\frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1}) = nRT (V_1 - V_2) (\frac{V_1 - V_2}{V_1 V_2}) = \frac{nRT (V_1 - V_2)^2}{V_1 V_2} > 0$。これは正なので、気体が外にした仕事の和は負ではない。仕事の和はピストンにかかる圧力の違いを考慮する必要があるため、$L= m_Bg\Delta h = (P_2-P_1)(V_1-V_2)$から求まる。$L = L_{1 \to 2} + L_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_2}(V_1-V_2) + \frac{nRT}{V_1}(V_2-V_1)=nRT(V_1-V_2)(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1})=\frac{nRT(V_1-V_2)^2}{V_1V_2}$. この値は正なので、$L<0$にならない。

ピストンが外にした仕事の和は$L=- m_B g(V_1-V_2) / A < 0$である。

④ 1サイクルでの熱の和は $Q = Q_{1 \to 2} + Q_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2) + \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1) = \frac{nRT (V_1 - V_2)^2}{V_1 V_2} > 0$。

したがって、気体は吸熱する。

(iii)

① 等温過程なので、$Q'_{1 \to 2} = L'_{1 \to 2}$。

$L'_{1 \to 2} = \int_{V_1}^{V_2} P dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = nRT \ln \frac{V_2}{V_1} < 0$

② 等温過程なので、$Q'_{2 \to 1} = L'_{2 \to 1}$。

$L'_{2 \to 1} = \int_{V_2}^{V_1} P dV = \int_{V_2}^{V_1} \frac{nRT}{V} dV = nRT \ln \frac{V_1}{V_2} > 0$

③ 仕事の和は $L' = L'_{1 \to 2} + L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1} + nRT \ln \frac{V_1}{V_2} = 0$。

熱の和も $Q' = Q'_{1 \to 2} + Q'_{2 \to 1} = 0$。

(iv)

急膨張なので断熱過程である。ピストンに力が作用していないので外圧は0であり、$L''_{2 \to 0} = 0$である。断熱過程なので$Q''_{2 \to 0} = 0$である。

(v)

(ii) の①の過程。Aの上にBを置く過程は等温過程なので、気体は熱を吸収する。急膨張の過程は断熱過程なので、熱の移動はない。(iii)の過程は等温過程で、熱の出入りはあるが、(ii)の①の過程よりも小さくなる。したがって、(ii)の①が最も大きくなる。

理由は、(ii)の①は等温過程であり、圧縮によって外部から仕事が加わるため、その分の熱を放出する。

3. 最終的な答え

(i) $m = \frac{nRT A}{g V_1}$

(ii)

① $L_{1 \to 2} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2)$, $Q_{1 \to 2} = \frac{nRT}{V_2} (V_1 - V_2)$

② $L_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1)$, $Q_{2 \to 1} = \frac{nRT}{V_1} (V_2 - V_1)$

③ 負ではない。

④ 吸熱

(iii)

① $L'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$, $Q'_{1 \to 2} = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$

② $L'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$, $Q'_{2 \to 1} = nRT \ln \frac{V_1}{V_2}$

③ 仕事の和：0, 熱の和：0

(iv) $L''_{2 \to 0} = 0$, $Q''_{2 \to 0} = 0$

(v) (ii)の①の過程