与えられたベクトル場 **A** に対して、回転 rot **A** を計算する問題です。**A** は３つの場合について与えられています。 (1) $\mathbf{A} = xy^2 \mathbf{i} - e^{yz} \mathbf{j} + \log(y-3z) \mathbf{k}$ (2) $\mathbf{A}(x, y, z) = (xyz, -y^2 z^3, 2x^2 y)$ (3) $\mathbf{A}(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$

1. 問題の内容

与えられたベクトル場 **A** に対して、回転 rot **A** を計算する問題です。**A** は３つの場合について与えられています。

(1) $\mathbf{A} = xy^2 \mathbf{i} - e^{yz} \mathbf{j} + \log(y-3z) \mathbf{k}$

(2) $\mathbf{A}(x, y, z) = (xyz, -y^2 z^3, 2x^2 y)$

(3) $\mathbf{A}(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$

2. 解き方の手順

回転 rot **A** は、以下の式で計算されます。

$\text{rot } \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} - \left(\frac{\partial A_z}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial z}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}$

各場合について、上記の式を用いて回転を計算します。

(1) $\mathbf{A} = xy^2 \mathbf{i} - e^{yz} \mathbf{j} + \log(y-3z) \mathbf{k}$の場合：

$A_x = xy^2$, $A_y = -e^{yz}$, $A_z = \log(y-3z)$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = \frac{1}{y-3z}$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = -y e^{yz}$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = 2xy$

したがって、

$\text{rot } \mathbf{A} = (\frac{1}{y-3z} + y e^{yz}) \mathbf{i} - (0 - 0) \mathbf{j} + (0 - 2xy) \mathbf{k} = (\frac{1}{y-3z} + ye^{yz}) \mathbf{i} - 2xy \mathbf{k}$

(2) $\mathbf{A}(x, y, z) = (xyz, -y^2 z^3, 2x^2 y)$の場合：

$A_x = xyz$, $A_y = -y^2 z^3$, $A_z = 2x^2 y$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 2x^2$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = -3y^2 z^2$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 4xy$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = xy$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = xz$

したがって、

$\text{rot } \mathbf{A} = (2x^2 + 3y^2 z^2) \mathbf{i} - (4xy - xy) \mathbf{j} + (0 - xz) \mathbf{k} = (2x^2 + 3y^2 z^2) \mathbf{i} - 3xy \mathbf{j} - xz \mathbf{k}$

(3) $\mathbf{A}(x, y, z) = (\frac{x}{x^2+y^2}, -\frac{x}{x^2+y^2}, 0)$の場合：

$A_x = \frac{x}{x^2+y^2}$, $A_y = -\frac{x}{x^2+y^2}$, $A_z = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_z}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial A_x}{\partial z} = 0$

$\frac{\partial A_y}{\partial x} = -\frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$

$\frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{-x(2y)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$

したがって、

$\text{rot } \mathbf{A} = (0 - 0) \mathbf{i} - (0 - 0) \mathbf{j} + (\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}) \mathbf{k} = (\frac{x^2-y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2}) \mathbf{k}$

3. 最終的な答え

(1) $\text{rot } \mathbf{A} = (\frac{1}{y-3z} + ye^{yz}) \mathbf{i} - 2xy \mathbf{k}$

(2) $\text{rot } \mathbf{A} = (2x^2 + 3y^2 z^2) \mathbf{i} - 3xy \mathbf{j} - xz \mathbf{k}$

(3) $\text{rot } \mathbf{A} = (\frac{x^2-y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2}) \mathbf{k}$