問題は、人工衛星の運動に関する3つの問いから構成されています。 (i) 半径 $r$ の円運動をする質量 $m$ の人工衛星の速度と周期を、万有引力定数 $G$ と地球の質量 $M$ を用いて求める。 (ii) 地球付近での重力加速度 $g$ が、$g = \frac{GM}{R^2}$ で与えられることを、万有引力の式と $mg$ が等しいことから示す。ここで、$R$ は地球の半径です。 (iii) 地表すれすれの円軌道上を等速で回る人工衛星の速度を、地表付近での重力加速度 $g = 9.8 \ m/s^2$ と地球の半径 $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ を用いて求める。

1. 問題の内容

問題は、人工衛星の運動に関する3つの問いから構成されています。

(i) 半径 $r$ の円運動をする質量 $m$ の人工衛星の速度と周期を、万有引力定数 $G$ と地球の質量 $M$ を用いて求める。

(ii) 地球付近での重力加速度 $g$ が、$g = \frac{GM}{R^2}$ で与えられることを、万有引力の式と $mg$ が等しいことから示す。ここで、$R$ は地球の半径です。

(iii) 地表すれすれの円軌道上を等速で回る人工衛星の速度を、地表付近での重力加速度 $g = 9.8 \ m/s^2$ と地球の半径 $R = 6.4 \times 10^6 \ m$ を用いて求める。

2. 解き方の手順

(i) 人工衛星の円運動において、万有引力が向心力となる。万有引力は $\frac{GMm}{r^2}$ であり、向心力は $m\frac{v^2}{r}$ であるから、

$$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$

これを $v$ について解くと、

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

周期 $T$ は円周 $2\pi r$ を速度 $v$ で割ったものなので、

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

(ii) 地球の質量を $M$、半径を $R$ とすると、地球表面にある質量 $m$ の物体に働く万有引力は $\frac{GMm}{R^2}$ である。

一方、重力は $mg$ であるから、

$$mg = \frac{GMm}{R^2}$$

両辺を $m$ で割ると、

$$g = \frac{GM}{R^2}$$

が示される。

(iii) 地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の半径は、地球の半径 $R$ に等しい。したがって、(i) で求めた速度の式において、$r = R$ とすればよい。

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

(ii)より、$GM = gR^2$ であるから、

$$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$$

$g = 9.8 \ m/s^2$、$R = 6.4 \times 10^6 \ m$ を代入すると、

$$v = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{62.72 \times 10^6} = 7.92 \times 10^3 \ m/s = 7.92 \ km/s$$

3. 最終的な答え

(i) 人工衛星の速度: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

人工衛星の周期: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$

(ii) $g = \frac{GM}{R^2}$ (証明終わり)

(iii) 地表すれすれの円軌道上の人工衛星の速度: $7.92 \ km/s$