与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、制約条件 $g(x,y) = 0$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて最大値と最小値を求めます。問題は2つあります。 (5) $f(x,y) = x+y$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$ (6) $f(x,y) = \frac{xy}{2}$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y)$ に対して、制約条件 $g(x,y) = 0$ の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いて最大値と最小値を求めます。問題は2つあります。

(5) $f(x,y) = x+y$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

(6) $f(x,y) = \frac{xy}{2}$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

2. 解き方の手順

(5) $f(x,y) = x+y$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$ の場合

ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ を作成します。

$L(x,y,\lambda) = x+y - \lambda (\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$

偏微分を計算し、0とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1) = 0$

第1式から $x = \frac{2}{\lambda}$ 、第2式から $y = \frac{1}{2\lambda}$ となります。これらを第3式に代入します。

$\frac{(\frac{2}{\lambda})^2}{4} + (\frac{1}{2\lambda})^2 - 1 = 0$

$\frac{4}{4\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} - 1 = 0$

$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{5}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$f(x,y) = \frac{4\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{4}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$f(x,y) = -\frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{5\sqrt{5}}{5} = -\sqrt{5}$

(6) $f(x,y) = \frac{xy}{2}$, $g(x,y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$ の場合

ラグランジュ関数 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ を作成します。

$L(x,y,\lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda (\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$

偏微分を計算し、0とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1) = 0$

第1式から $y = \lambda x$ 、第2式から $x = 4\lambda y$ となります。

$y = \lambda (4\lambda y)$

$y = 4\lambda^2 y$

$4\lambda^2 = 1$

$\lambda = \pm \frac{1}{2}$

$\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{x}{2}$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ なら $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ なら $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(x,y) = \frac{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$f(x,y) = \frac{(-\sqrt{2}) (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

$\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{x}{2}$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ なら $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ なら $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$f(x,y) = \frac{\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

$f(x,y) = \frac{(-\sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(5)

最大値: $\sqrt{5}$

最小値: $-\sqrt{5}$

(6)

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$