問題は、板材の熱貫流率に関する以下の3つの部分から構成されています。 (i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率から、面積1.0 m²、温度差10℃の時の熱の流れ $H$ を求める。 (ii) 熱貫流率 $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率 $\lambda$ が $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$ を満たすことを、ヒントをもとに示す。 (iii) 厚さ10 mmのアルミ板と20 mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

1. 問題の内容

問題は、板材の熱貫流率に関する以下の3つの部分から構成されています。

(i) 厚さ12mmのガラス板の熱貫流率から、面積1.0 m²、温度差10℃の時の熱の流れ $H$ を求める。

(ii) 熱貫流率 $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の2枚の板を張り合わせた合板の熱貫流率 $\lambda$ が $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$ を満たすことを、ヒントをもとに示す。

(iii) 厚さ10 mmのアルミ板と20 mmの銅板を張り合わせた板の熱貫流率を求める。

2. 解き方の手順

(i) ガラス板の熱貫流率を求める。熱貫流率 $\lambda$ は $\lambda = \frac{k}{L}$ で与えられ、熱の流れ $H$ は $H = \lambda A \Delta T$ で与えられる。

ここで、$k$は熱伝導率、$L$は厚さ、$A$は面積、$\Delta T$は温度差である。

ガラス板の熱伝導率は$k = 0.55 \ W/(m \cdot K)$、厚さは$L = 12 \ mm = 0.012 \ m$、面積は$A = 1.0 \ m^2$、温度差は$\Delta T = 10 \ ^\circ C$である。

熱貫流率 $\lambda$ は $\lambda = \frac{0.55 \ W/(m \cdot K)}{0.012 \ m} = 45.83 \ W/(m^2 \cdot K)$

熱の流れ $H$ は $H = 45.83 \ W/(m^2 \cdot K) \times 1.0 \ m^2 \times 10 \ ^\circ C = 458.3 \ W$

(ii) 2枚の板の熱貫流率

(a) 板1と板2を流れる熱量は等しいので、$H = \lambda_1 A \frac{T_1 - T'}{L_1} = \lambda_2 A \frac{T' - T_2}{L_2}$

(b) $T'$ を消去する。

$T_1 - T' = \frac{H L_1}{\lambda_1 A}$

$T' - T_2 = \frac{H L_2}{\lambda_2 A}$

$T_1 - T_2 = (T_1 - T') + (T' - T_2) = \frac{H L_1}{\lambda_1 A} + \frac{H L_2}{\lambda_2 A} = H (\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2})/A$

$\frac{H}{A} = \frac{T_1 - T_2}{\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}}$

全体の熱貫流率を $\lambda$ とすると、$\frac{H}{A} = \lambda (T_1 - T_2)$であるから、

$\lambda = \frac{1}{\frac{L_1}{\lambda_1} + \frac{L_2}{\lambda_2}}$。

ここで、板材の熱貫流率 $\Lambda = \frac{\lambda}{L}$ なので、$R=\frac{1}{\Lambda}$ とすると、重ね合わせた板の熱抵抗は、各々の熱抵抗の和となる。

それぞれの板の厚さを無視できるならば、$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$

(iii) アルミニウム板と銅板の熱伝導率を調べる。

アルミニウムの熱伝導率 $k_{Al} = 237 \ W/(m \cdot K)$

銅の熱伝導率 $k_{Cu} = 401 \ W/(m \cdot K)$

それぞれの熱貫流率を求める。

$\lambda_{Al} = \frac{237 \ W/(m \cdot K)}{0.01 \ m} = 23700 \ W/(m^2 \cdot K)$

$\lambda_{Cu} = \frac{401 \ W/(m \cdot K)}{0.02 \ m} = 20050 \ W/(m^2 \cdot K)$

$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{23700} + \frac{1}{20050}$

$\frac{1}{\lambda} = \frac{20050+23700}{23700 \times 20050} = \frac{43750}{475185000}$

$\lambda = \frac{475185000}{43750} = 10861.37 \ W/(m^2 \cdot K)$

3. 最終的な答え

(i) $H = 458.3 \ W$

(ii) $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$

(iii) $\lambda = 10861.37 \ W/(m^2 \cdot K)$