関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ について、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ のもとで、ラグランジュの未定乗数法を用いて最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ について、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ のもとで、ラグランジュの未定乗数法を用いて最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda)$ を次のように定義します。

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$

$L(x, y, \lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda \left( (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 \right)$

次に、$L$ の偏導関数をそれぞれ求め、0 とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \lambda \frac{x}{2} = 0$ (1)

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2 \lambda y = 0$ (2)

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = - \left( (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 \right) = 0$ (3)

(1) より $y = \lambda x$

(2) より $x = 4 \lambda y$

これらの式を連立して解きます。

$x = 4 \lambda (\lambda x)$

$x = 4 \lambda^2 x$

$x(1 - 4 \lambda^2) = 0$

よって、$x = 0$ または $1 - 4 \lambda^2 = 0$ が成り立ちます。

(i) $x = 0$ のとき、(1)より $y = 0$ となります。

しかし、(3)に代入すると $0 + 0 - 1 = 0$ となり矛盾します。

(ii) $1 - 4 \lambda^2 = 0$ のとき、$\lambda^2 = \frac{1}{4}$ より $\lambda = \pm \frac{1}{2}$ となります。

(a) $\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、

$y = \frac{1}{2} x$ を (3) に代入します。

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} - 1 = 0$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ のとき $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$x = -\sqrt{2}$ のとき $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

(b) $\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、

$y = -\frac{1}{2} x$ を (3) に代入します。

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} - 1 = 0$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = \sqrt{2}$ のとき $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$x = -\sqrt{2}$ のとき $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

これらの点における $f(x, y)$ の値を計算します。

$(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ のとき $f(x, y) = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ のとき $f(x, y) = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

$(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ のとき $f(x, y) = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

$(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ のとき $f(x, y) = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$