関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ の、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{xy}{2}$ の、条件 $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = 0$ の下での最大値と最小値を、ラグランジュの未定乗数法を用いて求める。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数を $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ と定義する。

$L(x, y, \lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda \left( \left(\frac{x}{2}\right)^2 + y^2 - 1 \right) = \frac{xy}{2} - \lambda \left( \frac{x^2}{4} + y^2 - 1 \right)$

偏微分を計算し、0 とおくと、

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = - \left( \frac{x^2}{4} + y^2 - 1 \right) = 0$

これから、次の連立方程式を得る。

$\frac{y}{2} = \frac{\lambda x}{2} \implies y = \lambda x$ ...(1)

$\frac{x}{2} = 2\lambda y \implies x = 4\lambda y$ ...(2)

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ...(3)

(1) を (2) に代入すると、

$x = 4\lambda (\lambda x) = 4\lambda^2 x$

$x(1 - 4\lambda^2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $4\lambda^2 = 1$

(i) $x = 0$ のとき、(1) より $y = \lambda \cdot 0 = 0$ 。しかし、(3) より $\frac{0}{4} + 0 = 1$ となり矛盾。したがって、$x \ne 0$.

(ii) $4\lambda^2 = 1$ より、$\lambda = \pm \frac{1}{2}$

(a) $\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、(1) より $y = \frac{1}{2}x$ 。これを (3) に代入すると、

$\frac{x^2}{4} + \left( \frac{x}{2} \right)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(b) $\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、(1) より $y = -\frac{1}{2}x$ 。これを (3) に代入すると、

$\frac{x^2}{4} + \left( -\frac{x}{2} \right)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

これらの点を $f(x, y)$ に代入する。

$f(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$f(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

$f(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

$f(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{2}$

最小値: $-\frac{1}{2}$