1 mol の理想気体を温度 $T$ の環境下で体積 $V_1$ から $V_2$ まで膨張させる。 (1) 内部エネルギーの変化量を求める。 (2) 以下の 3 つの方法でピストンを動かしたとき、気体が外部にした仕事 $L$ を求める。 1. 外圧を加えずに自由膨張させる。 2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させる。 3. 等温準静的（可逆的）に作用させる。 (3) (2) の過程のうち、気体が外部にした仕事が最も大きいのはどの過程かを答える。 (4) 以下の 3 つの方法でピストンを動かしたとき、気体が得た熱 $Q$ を求める。 1. 外圧を加えずに自由膨張させる。 2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させる。 3. 等温準静的（可逆的）に作用させる。

1. 問題の内容

1 mol の理想気体を温度 $T$ の環境下で体積 $V_1$ から $V_2$ まで膨張させる。

(1) 内部エネルギーの変化量を求める。

(2) 以下の 3 つの方法でピストンを動かしたとき、気体が外部にした仕事 $L$ を求める。

1. 外圧を加えずに自由膨張させる。

2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させる。

3. 等温準静的（可逆的）に作用させる。

(3) (2) の過程のうち、気体が外部にした仕事が最も大きいのはどの過程かを答える。

(4) 以下の 3 つの方法でピストンを動かしたとき、気体が得た熱 $Q$ を求める。

1. 外圧を加えずに自由膨張させる。

2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させる。

3. 等温準静的（可逆的）に作用させる。

2. 解き方の手順

(1) 理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存する。問題文より、気体の温度は変化していないので、内部エネルギーの変化は0である。

(2) 気体が外部にした仕事 $L$ を求める。

1. 外圧を加えずに自由膨張させた場合、外力に逆らって仕事をしないので、$L = 0$。

2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させた場合、$L = P_0(V_2 - V_1)$。

3. 等温準静的（可逆的）に作用させた場合、$L = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$。理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ より、$P = \frac{nRT}{V}$。したがって、

$L = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} \, dV = nRT [\ln V]_{V_1}^{V_2} = nRT (\ln V_2 - \ln V_1) = nRT \ln \frac{V_2}{V_1}$。

$n=1$ より、$L = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$。

(3) (2) で求めた仕事の大きさを比較する。

1. $L = 0$

2. $L = P_0(V_2 - V_1)$

3. $L = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$

等温過程より、$P_1V_1 = P_2V_2$ が成り立つ ($P_1, P_2$ はそれぞれ初期状態と最終状態の圧力)。

可逆過程では、$P_0$ は系の圧力と等しく、準静的に変化するため、$P_0$ は膨張の初期から最終まで変わらない圧力と考えられる。

したがって、この3つの過程のうち、外にした仕事が最も大きいのは等温準静的な過程である。

(4) 気体が得た熱 $Q$ を求める。

1. 外圧を加えずに自由膨張させた場合、仕事 $L=0$、内部エネルギーの変化 $\Delta U = 0$ より、熱力学第一法則 $\Delta U = Q - L$ より、$Q = 0$。

2. 一定の圧力 $P_0$ を作用させた場合、仕事 $L = P_0(V_2 - V_1)$。内部エネルギーの変化 $\Delta U = 0$ より、熱力学第一法則 $\Delta U = Q - L$ より、$Q = L = P_0(V_2 - V_1)$。

3. 等温準静的（可逆的）に作用させた場合、仕事 $L = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$。内部エネルギーの変化 $\Delta U = 0$ より、熱力学第一法則 $\Delta U = Q - L$ より、$Q = L = RT \ln \frac{V_2}{V_1}$。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2)

1. 0

2. $P_0 (V_2 - V_1)$

3. $RT \ln \frac{V_2}{V_1}$

(3) 2

(4)

1. 0

2. $P_0 (V_2 - V_1)$

3. $RT \ln \frac{V_2}{V_1}$