問題は、ラグランジュの未定乗数法を用いて、制約条件 $g(x, y) = 0$ の下で関数 $f(x, y)$ の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題が与えられています。 5) $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = \frac{x^2}{4} + y^2 - 1$ 6) $f(x, y) = \frac{xy}{2}$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = \frac{x^2}{4} + y^2 - 1$

1. 問題の内容

問題は、ラグランジュの未定乗数法を用いて、制約条件 $g(x, y) = 0$ の下で関数 $f(x, y)$ の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題が与えられています。

5) $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = \frac{x^2}{4} + y^2 - 1$

6) $f(x, y) = \frac{xy}{2}$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1 = \frac{x^2}{4} + y^2 - 1$

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法では、ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ を導入し、その偏導関数がすべて0となる点を求めます。すなわち、以下の連立方程式を解きます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$

そして、求まった $(x, y)$ の組に対して $f(x, y)$ の値を計算し、その中で最大のものと最小のものがそれぞれ最大値、最小値となります。

5) の場合:

ラグランジュ関数は $L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda (\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$ となります。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1) = 0$

最初の2つの式から、$x = \frac{2}{\lambda}$、$y = \frac{1}{2\lambda}$ が得られます。これを3番目の式に代入すると、

$\frac{(\frac{2}{\lambda})^2}{4} + (\frac{1}{2\lambda})^2 - 1 = 0$

$\frac{4}{4\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{5}{4\lambda^2} = 1$

$\lambda^2 = \frac{5}{4}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。よって $f(x, y) = x + y = \frac{4\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{4}{\sqrt{5}} = -\frac{4\sqrt{5}}{5}$, $y = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$。よって $f(x, y) = x + y = -\frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} = -\sqrt{5}$

6) の場合:

ラグランジュ関数は $L(x, y, \lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda (\frac{x^2}{4} + y^2 - 1)$ となります。

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \frac{\lambda x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(\frac{x^2}{4} + y^2 - 1) = 0$

最初の2つの式から、$y = \lambda x$、$x = 4 \lambda y$ が得られます。 $y = \lambda x$ を $x = 4 \lambda y$ に代入すると、$x = 4\lambda^2 x$。したがって、$4\lambda^2 = 1$ より $\lambda = \pm \frac{1}{2}$。

$\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2}x$。これを3番目の式に代入すると、

$\frac{x^2}{4} + (\frac{1}{2}x)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ ならば $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 $f(x, y) = \frac{xy}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ ならば $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。 $f(x, y) = \frac{xy}{2} = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

$\lambda = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{1}{2}x$。これを3番目の式に代入すると、

$\frac{x^2}{4} + (-\frac{1}{2}x)^2 = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1$

$\frac{x^2}{2} = 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}$ ならば $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。 $f(x, y) = \frac{xy}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

$x = -\sqrt{2}$ ならば $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 $f(x, y) = \frac{xy}{2} = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

5) 最大値：$\sqrt{5}$、最小値：$-\sqrt{5}$

6) 最大値：$\frac{1}{2}$、最小値：$-\frac{1}{2}$